Satz von Cayley-Hamilton

Der Satz von Cayley-Hamilton (nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton) ist ein Satz aus der linearen Algebra. Er besagt, dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist.

Satz von Cayley-Hamilton

Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, F\in {\mathrm  {End}}(V) und P_{F}\in K[t] sein charakteristisches Polynom. Dann ist

P_{F}\left(F\right)=0\in {\mathrm  {End}}(V).

Diese Gleichung ist als Gleichheit von Abbildungen aufzufassen. Insbesondere steht auf der rechten Seite der Gleichung die Nullabbildung und {\mathrm  {End}}(V) bezeichnet den Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach V.

Insbesondere gilt also für jede Matrix A\in K^{{n\times n}}

P_{A}(A)=0\in K^{{n\times n}}.

Zusammengefasst kann also gesagt werden: Jede quadratische Matrix genügt ihrer charakteristischen Gleichung.

Folgerungen

Einfache Folgerungen aus diesem Satz sind:

Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln für höhere Potenzen von Matrizen finden. Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen.

Verallgemeinerung

Im Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley-Hamilton für Moduln über kommutativen Ringen. Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben.

Aussage

Es seien R ein kommutativer Ring mit Einselement und M ein R-Modul, der von n Elementen erzeugt werden kann. Weiter sei f ein Endomorphismus von M, für den

f(M)\subseteq IM

für ein Ideal I\subseteq R gilt. Dann gibt es ein normiertes Polynom p(X)=X^{n}+a_{1}X^{{n-1}}+\cdots +a_{n} mit a_{i}\in I^{i}, so dass p\left(f\right)=0 gilt.

Beispiel

Es seien R=\Z und M=\mathbb{Z } ^{3} sowie I=2\mathbb{Z } das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen. Der Endomorphismus f sei definiert durch die Matrix

A={\begin{pmatrix}2&-2&6\\-2&-6&2\\4&-2&2\end{pmatrix}}.

Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind, gilt f(M)\subseteq 2\mathbb{Z } \cdot M. Das charakteristische Polynom von f lautet

P_{f}(t)=t^{3}+2t^{2}-44t-128.

Dessen Koeffizienten 2, –44 und –128 sind, wie behauptet, Vielfache von 2, 4 bzw. 8.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.10. 2019