Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume (X,\Vert \cdot \Vert _{X}) und (Y,\Vert \cdot \Vert _{Y}) sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus T:X\rightarrow Y existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also \Vert Tx\Vert _{Y}=\Vert x\Vert _{X} erfüllt. Man schreibt dann X\cong Y.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator T übernimmt die Identifizierung von Elementen aus X mit Elementen aus Y. Die Isometrie von T sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung T^{-1} wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.06. 2019