Resolvente
In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl z verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte z, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.
Definition
Für einen linearen Operator
(oder auch eine Matrix
)
definiert man die Resolventenmenge
als das Komplement des Spektrums
von
,
d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen
,
für die der Operator
beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums
offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch
Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente ,
was lediglich das Vorzeichen
invertiert.
Eigenschaften und Anwendungen
Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische
Funktion und kann auf ,
wobei
der Spektralradius
ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:
.
Die Resolvente wird u.a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Franz Rellich-Tosio Kato und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh-Schrödinger.
Resolventenidentitäten
Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität.
Aus
folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität
und aus
folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität
Siehe auch



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.08. 2021