Spezielle lineare Gruppe

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung von Symmetrien. Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper K (oder allgemeiner einem kommutativen, unitären Ring), {\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}, ist die Gruppe aller n\times n Matrizen mit Koeffizienten aus K, deren Determinante 1 beträgt; diese werden auch unimodulare Matrizen genannt. Die Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge \mathbb {R} der reellen oder \mathbb {C} der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch {\displaystyle \operatorname {SL} (n)}.

Eigenschaften

Die spezielle lineare Gruppe {\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)} ist ein Normalteiler der allgemeinen linearen Gruppe {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}.

Die Faktorgruppe {\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)/\operatorname {SL} (n,K)} ist isomorph zu K^{*}, der Einheitengruppe von K (für einen Körper K ist K^{*} gleich K \setminus\{0\}). Der Beweis erfolgt über den Homomorphiesatz mit der Determinante als Homomorphismus.

Wichtige Untergruppen der {\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)} sind für K = \R die spezielle orthogonale Gruppe \operatorname {SO}(n) und für K = \C die spezielle unitäre Gruppe \operatorname {SU} (n).

Die spezielle lineare Gruppe {\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)} über dem Körper K = \R oder K = \C ist eine Lie-Gruppe über K der Dimension n^2-1.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.

Die spezielle lineare Gruppe {\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)} beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 19.09. 2019