Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel

Sei ein reelles Intervall, $f\colon I\to {\mathbb {R}}$ eine stetige Funktion und $\varphi \colon [a,b]\to I$ stetig differenzierbar. Dann ist

$\int _{{a}}^{{b}}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,{\mathrm {d}}t=\int _{{\varphi (a)}}^{{\varphi (b)}}f(x)\,{\mathrm {d}}x.$

Beweis

Sei eine Stammfunktion von . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion $F\circ \varphi$

$(F\circ \varphi )'(t)=F'(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t).$

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t&{}=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&{}=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&{}=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Anwendung

Wir betrachten:

$\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t$

Das Ziel ist es, den Teilterm ${\textstyle \varphi (t)}$ des Integranden zur Integrationsvariable ${\textstyle t}$ zu vereinfachen. Dies geschieht durch Anwendung der Substitutionsregel. Dazu multipliziert man zuerst den Integrand mit ${\textstyle {1 \over \varphi '(t)}}$ und ersetzt in einem zweiten Schritt anschließend überall die Integrationsvariable ${\textstyle t}$ mit ${\textstyle \varphi ^{-1}(t)}$ . In einem letzten Schritt werden noch die Integrationsgrenzen ${\textstyle a}$ und ${\textstyle b}$ durch ${\textstyle \varphi (a)}$ bzw. ${\textstyle \varphi (b)}$ ersetzt.

Man bildet also

${\begin{aligned}\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t))){\frac {\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}\,\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Wegen der Übersichtlichkeit geht man in der Praxis häufig zu einer neuen Integrationsvariable über z. B. von ${\textstyle t}$ zu ${\textstyle x}$ . Dann lautet die Umkehrfunktion ${\textstyle \varphi ^{-1}(x)}$ und das Differential wird von ${\textstyle \mathrm {d} t}$ zu ${\textstyle \mathrm {d} x}$ und man erhält den formal gleichwertigen Ausdruck:

${\begin{aligned}=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Hat man die Stammfunktion ${\textstyle F}$ gefunden, kann man sie direkt mit den Grenzen ${\textstyle \varphi (a)}$ und ${\textstyle \varphi (b)}$ auswerten oder die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als ${\textstyle F\circ \varphi }$ bilden.

Das gleiche können wir auch rückwärts durchführen und wenden die Substitutionsregel auf

${\begin{aligned}\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

an. Dann muss die Integrationsvariable ${\textstyle t}$ durch den Term von ${\textstyle \varphi (t)}$ ersetzt werden und multipliziert anschließend den Integrand mit ${\textstyle \varphi '(t)}$ . Zuletzt wendet man ${\textstyle \varphi ^{-1}}$ auf die Integrationsgrenzen an.

Substitution eines bestimmten Integrals

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

$\int _{{0}}^{a}\sin(2x)\,{\mathrm {d}}x$

für eine beliebige reelle Zahl a>0 : Durch die Substitution $t=\varphi (x)=2x$ erhält man $\mathrm {d} t=\varphi '(x)\,\mathrm {d} x=2\,\mathrm {d} x$ , also $\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}{\mathrm {d} t}$ , und damit:

$\int _{{0}}^{a}\sin(2x)\,{\mathrm {d}}x=\int _{{\varphi (0)}}^{{\varphi (a)}}\sin(t)\,{\frac 12}{{\mathrm {d}}t}=\int _{{0}}^{{2a}}\sin(t)\,{\frac 12}{{\mathrm {d}}t}={\frac {1}{2}}\int _{{0}}^{{2a}}\sin(t)\,{\mathrm {d}}t$

$={\frac {1}{2}}[-\cos(t)]_{0}^{{2a}}={\frac {1}{2}}(-\cos(2a)+\cos(0))={\frac {1}{2}}(1-\cos(2a))$ .

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

$\int _{{0}}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,{\mathrm {d}}x$ :

Durch die Substitution $t=\varphi (x)=x^{2}+1$ erhält man ${\mathrm {d}}t=2x\,{\mathrm {d}}x$ , also $x\,{\mathrm {d}}x={\tfrac 12}{\mathrm d}t$ , und damit

$\int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left(\sin(5)-\sin(1)\right)$ .

Es wird also x^2 + 1 durch ersetzt und $x\,\mathrm {d} x$ durch ${\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {d} t$ . Die untere Grenze des Integrals x=0 wird dabei in $\varphi (0)=0^{2}+1=1$ umgewandelt und die obere Grenze x=2 in $\varphi (2)=2^{2}+1=5$ .

Beispiel 3

Für die Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,{\mathrm {d}}x$

kann man $x=\sin(t)$ , also $t=\arcsin(x)$ substituieren. Daraus ergibt sich ${\mathrm {d}}x=\cos(t)\,{\mathrm {d}}t$ . Mit ${\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=|{\cos(t)}|$ erhält man

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}\cos(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(t)\,\mathrm {d} t$ .

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos ^{2}(t)={\frac {1+\cos(2t)}{2}}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{4}}\sin(2t)\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}$ .

Substitution eines unbestimmten Integrals

Voraussetzungen und Vorgehen

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

$F(\varphi (x))=\int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t.$

wobei F eine Stammfunktion von f.

Beispiel 1

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution $t=x+1$ , $\mathrm {d} x=\mathrm {d} t$ erhält man

$\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t=\arctan(t)+C=\arctan(x+1)+C$

Beispiel 2

Mit der Substitution $t=x^{2},{\mathrm {d}}t=2x\,{\mathrm {d}}x$ erhält man

$\int x\,\cos \left(x^{2}\right)\,{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}\int 2x\cos \left(x^{2}\right)\,{\mathrm {d}}x={\frac {1}{2}}\int \cos(t)\,{\mathrm {d}}t={\frac {1}{2}}\left(\sin(t)+C'\right)={\frac {1}{2}}\sin \left(x^{2}\right)+C$

Man beachte, dass die Substitution nur für $x\geq 0$ bzw. nur für $x\leq 0$ streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist eine Stammfunktion von , dann gilt

$\int f(ax+b)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C$ , falls $a\neq 0$ .

Zum Beispiel gilt

$\int e^{3x+1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}e^{(3x+1)}+C$ ,

da $f(x)=e^{x}=F(x)$ und a=3 .

Logarithmische Integration

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C\quad \left(f(x)\neq 0\right)$ .

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit $t=f(x)$ .

Zum Beispiel gilt

$\int {\frac {x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)+C$ ,

da $f(x)=x^{2}+1$ die Ableitung f'(x)=2x hat.

Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

$\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;{\mathrm {d}}x$

und

$\int {\frac {{\mathrm {d}}x}{{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}$

elementar integrieren.

Beispiel:

$\int {\frac {{\mathrm {d}}x}{{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

Durch die Substitution $t-x={\sqrt {x^{2}+1}}$ also $t^{2}-2tx=1$ , $x={\tfrac {t}{2}}-{\tfrac {1}{2t}}$ , $t-x={\tfrac {t}{2}}+{\tfrac {1}{2t}}$ und $\mathrm {d} x=\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2t^{2}}}\right)\mathrm {d} t$ ergibt sich

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\int {\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2t^{2}}}}{{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{2t}}}}\mathrm {d} t=\int {\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln t+C=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C$ .

Siehe auch

Partielle Integration für eine weitere wichtige Regel zur Berechnung von Integralen,

Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2.
Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de