Volumenform

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Beispiele in 3 Dimensionen

Kartesische Koordinaten: ${\mathrm {d}}V={\mathrm {d}}x\cdot \ {\mathrm {d}}y\cdot \ {\mathrm {d}}z$
Zylinderkoordinaten: ${\mathrm {d}}V=\rho \cdot \ {\mathrm {d}}\rho \cdot \ {\mathrm {d}}\varphi \cdot \ {\mathrm {d}}z$
Kugelkoordinaten: ${\mathrm {d}}V=\ r^{2}\cdot \sin \theta \cdot \ {\mathrm {d}}r\cdot \ {\mathrm {d}}\theta \cdot \ {\mathrm {d}}\varphi$

Berechnung in 3 Dimensionen

Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach dem Transformationssatz mit Hilfe der Funktionaldeterminante $\det J$ berechnen. Die Jacobi-Matrix für die Transformation von den Koordinaten $\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ zu $\{x'_{1},x'_{2},x'_{3}\}$ ist hierbei definiert durch

$J={\frac {\partial (x_{1},x_{2},x_{3})}{\partial (x'_{1},x'_{2},x'_{3})}}.$

Das Volumenelement ist dann gegeben durch

${\mathrm {d}}V'=|\det J|\,{\mathrm {d}}x'_{1}\,{\mathrm {d}}x'_{2}\,{\mathrm {d}}x'_{3}.$

Mathematische Definition

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Differentialform vom Grad . Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit Volumenformen

Ist $\omega$ eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit und eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

$\int _{M}f\cdot \omega$

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ lokale Koordinaten, so dass

${\frac \partial {\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac \partial {\partial x_{n}}}$

positiv orientiert ist. Dann kann man $f\cdot \omega$ im Kartengebiet als

$g\cdot {\mathrm d}x_{1}\wedge \ldots \wedge {\mathrm d}x_{n}$

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von . Für das Integral über ganz kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

Basierend auf Artikeln in:

Wikipedia.de