Bateman-Gleichung

In der Kernphysik ist die Bateman-Gleichung ein mathematisches Modell, das Häufigkeiten und Aktivitäten in einer Zerfallkette als Funktion der Zeit beschreibt, basierend auf den Zerfallsraten und den anfänglichen Übergängen. Das Modell wurde 1905 von Ernest Rutherford formuliert^[[1] und die Analyselösung wurde 1910 von Harry Bateman bereitgestellt.^[2]

Wenn zum Zeitpunkt t gibt des "displaystyle N'i'(t)" Atome des Isotops "displaystyle i" die in "displaystyle i+1" Isotope mit der Zerfallsrate .displaystyle .lambda , die Mengen an Isotopen in der k-step-Zerfallskette entwickelt sich als:

$"displaystyle"begin-aligned-frac .dN'1'(t)'d't'&-'-'lambda''1''N'1'(t'n'd'n't'"-frac'd-N'i''d-'n''d''n'''''d'n''i''''''d'n'''''d-'n't''d-'n''d-'n't'd-'n''''d'n''''t''d't'''d't''d't'''d't''''d''''dN'''d'dN'''d'd't''dn'''d't''dn''d't'd't'd't'd'd'd'dn''dt'd'dn''d'd'd't'd't''d't'd't'd't'd't'd't'd't'd'dn''d'd'd'dn''d'd'dn'''d'd'd't'd$

(dies kann an Zerfallszweige angepasst werden). Während dies für i=2 explizit gelöst werden kann, werden die Formeln schnell umständlich für längere Ketten.^[3] Die Bateman-Gleichung ist eine klassische Master-Gleichung, bei der die Übergangsraten nur von einer Art (i) zur nächsten (i+1) zugelassen werden, aber nie im umgekehrten Sinne (i+1 bis i ist verboten).

Bateman fand eine allgemeine explizite Formel für die Beträge, indem er die Laplace-Transformation der Variablen einnahm.

(es kann auch mit Quellbegriffen erweitert werden, wenn mehr Atome von Isotopen i extern zu einer konstanten Geschwindigkeit bereitgestellt werden).^[4]

Menge der Isotope in der Zerfallsreihe 241Pu als Funktion der Zeit

Während die Bateman-Formel in einem Computercode implementiert werden kann, wenn -displaystyle - slambda . . . für ein Isotoppaar, Auslöschung kann zu Rechenfehlern führen. Daher werden andere Methoden wie numerische Integration oder Matrixexponential eingesetzt.^[[5]^[6]

Zum Beispiel für den einfachen Fall einer Kette von drei Isotopen reduziert sich die entsprechende Bateman-Gleichung auf

$"displaystyle" "begin-aligned"&A,'xrightarrow' - Lambbda' A',B','xrightarrow' - Lambbda', C'[4pt]&N'B'frac' 'lambda' - A'lambda' - "B'lambda'"-B'lambda'-A'A'A'0'left$

Das gibt die folgende Formel für die Aktivität des Isotops "displaystyle B" (durch Substitution -displaystyle A'lambda N' )

$"displaystyle" "begin" aligned - B'B'frac'lambda'B'lambda'B'lambda' - "A-A'A'A'0'left" (e'-'lambda'-A't'-'-'lambda' - B't't'right)$

Einzelnachweise

↑ Rutherford, E. (1905) Radioaktivität Universitätspresse. S. 331
↑ Bateman, H. (1910, Juni) Die Lösung eines Systems von Differentialgleichungen, das in der Theorie der radioaktiven Transformationen auftritt. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, Nr. pt V, S. 423–427) https://archive.org/Details/cbarchive-122715-solutionofasystemofdifferentia1843
-↑ "Radioactive decay and the Bateman equation" (PDF). (im Internet-Archiv)
-↑ "Nucleonica".
-↑ Harr, Logan (2007-03-15). "Präzisere Berechnung komplexer Radioaktivitätsafetten" (PDF). Thesen und Dissertationen (veröffentlicht 2007).
-↑ Snyder, W. Van (2017-08-16). "Algorithm 982: Explizite Lösungen von dreieckigen Systemen der linearen anfänglichen Stammdifferenzierung der ursprünglichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten". ACM Transaktionen über mathematische Software. doi: 10.1145/3092892.

Basierend auf einem Artikel in:

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