Leibniz-Reihe

Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl $\pi$ , die Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum erstmals veröffentlichte. Sie lautet:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}$ .

Diese Formel war dem indischen athematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert und dem schottischen Mathematiker James Gregory vor 1671 bekannt, Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu.

Die Konvergenz dieser unendlichen Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium. Die Konvergenz ist logarithmisch.

Konvergenzgeschwindigkeit

Das Restglied der Summe nach Summanden beträgt

$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1} - \frac\pi4 = -\sum_{k=n}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ .

Mit der Fehlerabschätzung des Leibniz-Kriteriums gilt

$|R_n| \leq \frac{1}{2n+1}$ .

Genauere Betrachtungen zeigen sogar, dass

$|R_n| < \frac{1}{4n} \in \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$ .

Mit Summanden kann man also Nachkommastellen mit einem Fehler < 0,5 in der -ten Nachkommastelle erhalten:

$s(n) = \lg(2n)$ .

Die Anzahl benötigter Summanden für sinnvolle Nachkommastellen im Ergebnis beträgt entsprechend

$n(s) = \frac12 \cdot 10^{\textstyle s}$ .

Eine Liste von Partialsummen, die sich aus Leibniz’ Formel ergeben

Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sie eine Näherung der Kreiszahl berechnen, denn es ist

$\pi = 4 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \lim \limits_{n\to \infty} \left(4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)$ .

Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.

Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von $\pi$ nicht geeignet.

n (Anzahl der berechneten Brüche)	$4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}$ (Ergebnis)	Verhältnis zur Kreiszahl
2	2,666666666666667	0,848826363156775
4	2,895238095238095	0,921582908570213
8	3,017071817071817	0,960363786700453
16	3,079153394197426	0,980124966449415
32	3,110350273698686	0,990055241612751
64	3,125968606973288	0,995026711499770
100	3,131592903558553	0,996816980705689
1.000	3,140592653839793	0,999681690193394
10.000	3,141492653590043	0,999968169011461
100.000	3,141582653589793	0,999996816901138
1.000.000	3,141591653589793	0,999999681690114
10.000.000	3,141592553589793	0,999999968169011
100.000.000	3,141592643589793	0,999999996816901
1.000.000.000	3,141592652589793	0,999999999681690

Konvergenz-Beschleunigung

Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergente Reihe (Nicolas Fatio, 1705)

${\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

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