Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume E_{n} mit punktierten stetigen Abbildungen

{\displaystyle \sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}}.

Hierbei bezeichnet {\displaystyle SE_{n}} die reduzierte Einhängung von E_{n}.

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht \sigma_n einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung {\displaystyle E_{n}\to \Omega E_{n+1}}. Ein Spektrum ist ein \Omega -Spektrum, wenn die Abbildungen {\displaystyle E_{n}\to \Omega E_{n+1}} Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die \Omega -Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum E_{n} durch {\displaystyle \operatorname {colim} _{k\to \infty }\Omega ^{k}E_{n+k}} ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren {\displaystyle (E_{n},\sigma _{n})} und {\displaystyle (E_{n}^{\prime },\sigma _{n}^{\prime })} ist eine Familie stetiger Abbildungen {\displaystyle f_{n}\colon E_{n}\to E_{n}^{\prime }} mit {\displaystyle f_{n+1}\circ \sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }\circ Sf_{n}} für alle n.

Beispiele

Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

{\displaystyle \pi _{k}(E):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\pi _{n+k}E_{n}}.

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums {\displaystyle E_{n}=S^{n}X} werden als stabile Homotopiegruppen von X bezeichnet:

{\displaystyle \pi _{k}^{s}(X):=\pi _{k}(\Sigma ^{\infty }X)}.

Für \Omega -Spektren gilt bereits {\displaystyle \pi _{k}(E)=\pi _{k}(E_{0})}.

Beispiele

Äquivalenzen

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

{\displaystyle {\tilde {E}}_{k}(X):=\left[\Sigma ^{k}\mathbf {S} ,E\wedge X\right]},

wobei {\displaystyle E\wedge X} das mit Hilfe des Smash-Produktes durch {\displaystyle (E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X} definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist {\displaystyle {\tilde {E}}_{k}(S^{0})=\pi _{k}(E)}.

Beispiel

{\displaystyle MO_{k}(X)} ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer k-Mannigfaltigkeiten in X.

Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum E definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

{\displaystyle {\widetilde {E}}^{k}(X):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\left[S^{n}X,E_{n+k}\right]}

für topologische Räume X, wobei {\displaystyle \left[.,.\right]} die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit {\displaystyle E^{*}(X)} bezeichnet.

Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum K(G,n) definiert die singuläre Kohomologie {\displaystyle H^{*}(X;G)}, das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen E^* eines Raumes X können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen {\displaystyle E^{*}(X)} konvergierende Spektralsequenz mit E_{2}-Term

{\displaystyle E_{2}^{pq}=H^{p}(X;E^{q}(X))},

wobei {\displaystyle H^{*}(.;E^{q}(X))} singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe {\displaystyle E^{q}(X)} bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein \Omega -Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt

Für ein Spektrum {\displaystyle E=(E_{n},\sigma _{n})} und einen Raum X definiert man das Spektrum {\displaystyle E\wedge X} durch {\displaystyle (E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X} und die Strukturabbildungen {\displaystyle \Sigma _{n}\wedge id_{X}}.

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren E und F ein Smash-Produkt {\displaystyle E\wedge F} zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum R mit einem Smash-Produkt \wedge und mit Morphismen

{\displaystyle \mu \colon R\wedge R\to R,\epsilon \colon \mathbf {S} \to R,}
{\displaystyle \alpha \colon R\wedge (R\wedge R)\to (R\wedge R)\wedge R,\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R},

die den Bedingungen

{\displaystyle \mu \circ (\mu \wedge id)\circ \alpha =\mu \circ (id\wedge \mu )\colon R\wedge (R\wedge R)\to R}
{\displaystyle \mu \circ (\epsilon \wedge id)=\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\mu \circ (id\wedge \epsilon )=\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R}

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2021