Proximum

Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt x innerhalb einer x nicht enthaltenden Menge Y ist derjenige Punkt aus Y, der zu x den geringsten Abstand hat.

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum, Y\subset X eine Teilmenge und x\in X beliebig. Der Abstand des Elements x zur Teilmenge Y wird mittels der Distanzfunktion {\displaystyle \operatorname {dist} } definiert durch

{\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.}

Existiert nun ein {\displaystyle p\in Y} mit:

{\displaystyle d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,}

so nennt man p Proximum oder Bestapproximation zu x in Y.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum {\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )} zu tun. Ein Proximum p zu x\in X in Y\subset X ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

{\displaystyle \lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert }

Zur Existenz eines Proximums

Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen

Sei {\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]} ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für f aus U eindeutig bestimmt.

Sei U ein endlichdimensionaler Unterraum von C[a, b]. Ist für jedes {\displaystyle f\in C[a,b]} das Proximum aus U eindeutig bestimmt, dann ist U ein Tschebyschow-System.

Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen

Sei {\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]} ein n-dimensionales Tschebyschow-System. {\displaystyle u_{0}\in U} ist genau dann ein Proximum für f aus U, wenn es n+1 Stellen x_{i} mit {\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}\leq b} gibt, so dass

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Proximum im Hilbertraum

Ist X ein Hilbertraum und {\displaystyle Y\subset X} eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem x\in X genau ein {\displaystyle p\in Y} mit

{\displaystyle \lVert x-p\rVert \leq \lVert x-y\rVert \,\,\forall \,y\in Y}.

Ist Y ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum p als Orthogonalprojektion von x auf Y.

Literatur

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.09. 2022