Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion ${\mathcal H}({\mathbf q},{\mathbf p},t)$ (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion ${\mathcal H}(q,p,t)$ eines Systems von Teilchen ist i.d.R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten $q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})$ und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten $p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})$ der Teilchen ab und kann auch von der Zeit abhängen.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

${\mathcal H}(q,p,t):=\left\{\sum _{{i=1}}^{n}{\dot {q}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal L}(q,p,t),{\text{ mit }}{\dot {q}}={\dot {q}}(q,p,t)$

und hängt von der Zeit , den generalisierten Koordinaten $q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})$ und den generalisierten Impulsen $p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})$ ab.

Sie geht aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion ${\mathcal L}(t,q,{\dot q})$ bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten hervor, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten ${\dot q}=({\dot q}_{1},{\dot q}_{2}\dots {\dot q}_{n})$ abhängt:

${\mathcal H}(t,q,p)=\left\{\sum _{{i=1}}^{n}{\dot q}_{i}\,p_{i}\right\}-{\mathcal L}(t,q,{\dot q})$

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten ${\dot q}$ diejenigen Funktionen

${\dot q}(t,q,p)$

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

$p_{i}:={\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot q}_{i}}}$

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

$d{\mathcal H}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial q_{i}}}dq_{i}+\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial t}}dt$

Aufgrund der Produktregel erhält man

$d{\mathcal H}=\sum _{{i=1}}^{n}\left(p_{i}d{\dot {q}}_{i}+{\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial t}}dt,$

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses ${\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}$ die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

$d{\mathcal H}=\sum _{{i=1}}^{n}\left({\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial t}}dt$

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

${\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}$

${\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial q_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}$

${\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial t}}$

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

${\frac {d{\mathcal H}}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{f}\left({\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial t}}=\sum _{{i=1}}^{f}\left({\dot {q}}_{i}{\dot {p}}_{i}-{\dot {p}}_{i}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial t}}$

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit abhängt, ist der Wert der Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße.

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

${\dot q}_{k}={\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial p_{k}}}\ ,\quad {\dot p}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal H}}{\partial q_{k}}}.$

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für ${\mathcal H}(t,q,p)$ als Funktion von Operatoren und liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse , das sich nichtrelativistisch in einem Potential bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

${\mathcal H}(t,{\mathbf q},{\mathbf p})={\frac {{\mathbf p}^{2}}{2\,m}}+V({\mathbf q})$

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

$E^{2}-{\mathbf p}^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}$

gilt für die Hamilton-Funktion

${\mathcal H}(t,{\mathbf q},{\mathbf p})={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\mathbf p}^{2}\,c^{2}}}.$

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

${\mathcal L}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {{\mathbf q}^{2}}}/c^{2}}}$

hängt der generalisierte Impuls $p={\frac {\partial {\mathcal L}}{\partial {\dot q}}}$ gemäß

${\mathbf p}={\frac {m{\dot {{\mathbf q}}}}{{\sqrt {1-{\dot {{\mathbf q}^{2}}}/c^{2}}}}}$

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {{\mathbf p}\,c^{2}}{{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\mathbf p}^{2}\,c^{2}}}}}$

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

${\mathcal H}(x,p)={\dot {x}}p-{\mathcal L}(x,{\dot {x}})={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac m2}\omega _{0}^{2}x^{2}=T+V=E$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de