Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand \Psi eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor |\Psi \rangle beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3), so dass

E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand \Psi ist.

Definition und Eigenschaften

 [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad
[\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum {\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )} ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums \mathbb {R} ^{3}, jeder Zustand \Psi ist durch eine Ortswellenfunktion \psi(\mathbf{x}) gegeben.

Die Ortsoperatoren \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d.h. der Ortsoperator \hat{x}_j wirkt auf Ortswellenfunktionen \psi(\mathbf{x}) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x_{j}

(\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x})

Dieser Operator \hat{x}_j ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum D=\{\psi \in H \, | \, x\cdot\psi \in H \} definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} =
\int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x)

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

{\displaystyle ({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )}

erfüllen, wobei {\displaystyle \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )} die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } darstellt.

Die Eigenfunktionen {\displaystyle \psi (\mathbf {x_{0}} )} zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}

mit der Identität: {\displaystyle f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0})}

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen \tilde{\psi}(\mathbf{p})

(\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p})
und der Ortsoperator als Differentialoperator:
(\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p})

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.01. 2021