Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation

Die küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation (nach Karl Küpfmüller, der sie 1924 formulierte) oder Unschärferelation der Nachrichtentechnik ist die Aussage der Signaltheorie (Nachrichtentechnik), dass die Zeitdauer oder Einschwingdauer und die Bandbreite eines Signals nicht gleichzeitig beliebig klein werden können. Sie liefert eine auf die Verhältnisse nachrichtentechnischer Systeme angepasste und zur Heisenbergschen Unschärferelation analoge Aussage.

Für die Zeitdauer Δt und die Bandbreite Δf eines Signals gilt stets:

\Delta t\cdot \Delta f\geq k

wobei k je nach Definition von Bandbreite und Zeitdauer den Wert 1 oder 0,5 annimmt.

Auf der Unbestimmtheitsrelation bezüglich Zeitdauer und Bandbreite basieren zum Beispiel bekannte Grundregeln der Messtechnik:

Zeit-Bandbreite-Produkt

Da die Definition einer bestimmten Bandbreite verschiedenen Festlegungen folgt, und auch die Zeitdauer von Signalen nicht eindeutig ist, gibt es mehrere unterschiedliche Festlegungen von Zeit-Bandbreiten-Produkten. Beispielsweise wird bei zeitlich nicht begrenzten Signalen das Produkt über flächengleiche Rechtecke um den Maximalwert des Signals im Ursprung ausgedrückt:

\Delta t=\left.{\frac  {X({\mathrm  {j}}\omega )}{x(t)}}\right\vert _{{\omega =0,t=0}}

mit X({\mathrm  {j}}\omega )={\mathcal  {F}}\left\{{x\left({t}\right)}\right\}, der Fouriertransformierten von x(t). Die Bandbreite \Delta f wird dazu analog festgelegt zu:

\Delta f=2\pi \left.{\frac  {x(t)}{X({\mathrm  {j}}\omega )}}\right\vert _{{\omega =0,t=0}}

Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist bei dieser Festlegung der Zeitdauer und Bandbreite konstant mit dem Wert:

\Delta t\cdot \Delta f=2\pi

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.03. 2022