Gergonne-Punkt

Gergonne-Punkt G

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer $X_{7}$ .

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks $ABC$ berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten $X$ , $Y$ und $Z$ . Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt $G$ , schneiden.^[1] Das Dreieck $XYZ$ wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten ( ${\overline {AZ}}={\overline {AY}}$ , ${\overline {BX}}={\overline {BZ}}$ , ${\overline {CY}}={\overline {CX}}$ ) und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S

Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.^[1] Dabei gilt ${\overline {GS}}:{\overline {SM}}=2:1$ .^[2]
Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts ( $X_{7}$ ) sind (gleichwertig)

${\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}$ oder

$\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}.$ ^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}$ oder

$\tan {\frac {\alpha }{2}}:\tan {\frac {\beta }{2}}:\tan {\frac {\gamma }{2}}.$ ^[3]

Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks und $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Größen der Innenwinkel.

Literatur

Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

Einzelnachweise

Hochspringen nach: 1 2 Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 82.
↑ Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld.
Hochspringen nach: 1 2 3 Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(7). Abgerufen am 2. August 2026.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de