Stumpfer Winkel

Einen Winkel \alpha nennt man stumpf, falls er größer als 90° und kleiner als 180° (im Gradmaß) ist, beziehungsweise wenn \pi /2<\alpha <\pi (im Bogenmaß) gilt.

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei S=\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\subset {\mathbb  {R}}^{n} eine Familie von Vektoren und \langle \cdot ,\cdot \rangle das Standardskalarprodukt auf \mathbb {R} ^{n}. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt \langle v_{i},v_{j}\rangle <0, für 1\leq i<j\leq k.

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im \mathbb {R} ^{n} höchstens n+1 Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von n+1 Vektoren im \mathbb {R} ^{n} vor, so gilt für den Winkel \varphi zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: \varphi =\arccos \left(-{\frac  {1}{n}}\right).

Im Fall n=3 beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder.

Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel {\displaystyle \tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\circ }}.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 06.05. 2021