Kegelhülle

Die Kegelhülle ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes einen Kegel zuordnet, genauer den kleinsten Kegel, der die Menge enthält.

Definition

Gegeben sei ein \mathbb {R} -Vektorraum V und X eine beliebige Teilmenge von V. Dann heißt

{\displaystyle \operatorname {cone} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ Kegel }}}{\mathcal {K}}}

die Kegelhülle von X. Sie ist der kleinste Kegel, der X enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

\operatorname {cone}(X):=\{\lambda x\,|\,x\in X,\,\lambda \geq 0\}.

Bemerkungen

Eigenschaften

  • X\subset \operatorname {cone}(X),
  • X\subset Y\implies \operatorname {cone}(X)\subset \operatorname {cone}(Y),
  • \operatorname {cone}(\operatorname {cone}(X))=\operatorname {cone}(X).
\operatorname {cone}(\operatorname {conv}(X))=\operatorname {conv}(\operatorname {cone}(X))=\operatorname {pos}(X).

Beispiele

Gegeben seien die beiden Vektoren

v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

Dann ist

\operatorname {cone}(v_{1},v_{2})=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cup \lambda _{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,\lambda _{2},\lambda _{2}\geq 0

Betrachtet man den Vektorraum der 2\times 2 Matrizen sowie als Menge X aller Drehmatrizen

R_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},

so ist \operatorname {cone}(X) der Kegel der Matrizen, die Drehstreckungen beschreiben

\operatorname {cone}(X)={\begin{pmatrix}\lambda \cos \alpha &-\lambda \sin \alpha \\\lambda \sin \alpha &\lambda \cos \alpha \end{pmatrix}},\,\lambda \geq 0.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.12. 2020