Rationaler Funktionenkörper

Ein Rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper K(X) ist der Quotientenkörper des Polynomrings K[X] über einem Körper K. Die Konstruktion von K(X) ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente r\in K(X) können also als r = \tfrac{f}{g} mit Polynomen f,g \in K[X], wobei g nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

Beispiel: Für K=\mathbb{F}_3 gilt zwar \tfrac{1}{X^3-X} als rationale Funktion auf K im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung K(X)/K ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine K-Basis des K-Vektorraums K(X) angeben.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper \displaystyle K(X_1,\ldots,X_n) in den Variablen \displaystyle X_1,\ldots,X_n ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings \displaystyle K[X_1,\ldots,X_n].

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen \displaystyle X_i und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

\displaystyle K(X_1,\ldots,X_n) ist der Quotientenkörper des Polynomrings \displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1})[X_n], also des Polynomrings über dem Körper \displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1}) in der Variable \displaystyle X_n

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper K algebraisch abgeschlossen und V eine affine Varietät im K^{n}. Dann ist das Ideal I(V) ein Primideal im Polynomring K[X_{1},\ldots ,X_{n}], weshalb der Koordinatenring K[V], d. h. der Quotientenring K[X_1,\ldots,X_n] / I(V), ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper K(V) des Koordinatenrings K[V] heißt dann Funktionenkörper von V. Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf V und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von V betrachtet werden.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.08. 2022