Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im Folgenden sei ein Ring mit Eins und ein R-Linksmodul.

Definition

Der Durchschnitt aller maximalen -Untermoduln von wird als (Jacobson-)Radikal $\mathrm {Rad} _{R}(M)$ (oder kurz $\mathrm {Rad} (M)$ ) bezeichnet.

Ist endlich erzeugt, so gilt: $\mathrm {Rad} (M)=\{x\in M|x\ \mathrm {ist\ {\ddot {u}}berfl{\ddot {u}}ssig\ in} \ M\}$ . Dabei heißt ein Element von überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N\subset M$ gilt: Aus $M=N+Rx$ folgt bereits $M=N$ .

Eigenschaften

Ist endlich erzeugt und $N\subset M$ ein Untermodul von mit $M=N+\mathrm {Rad} (M)$ , dann ist bereits . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
Ist endlich erzeugt und $M\not =0$ , dann ist $\mathrm {Rad} (M)\not =M$ . (Dies ist der Spezialfall der vorigen Aussage.)
$\mathrm {Rad} (M)=0$ gilt genau dann, wenn isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher -Moduln ist.
ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn artinsch und $\mathrm {Rad} (M)=0$ ist.

Jacobson-Radikal von Ringen

Im Folgenden sei ein Ring mit Eins.

Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes wird als das Jacobson-Radikal des -Linksmoduls definiert. Es wird als $J(R)$ notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links--Moduln / Rechts--Moduln
$\{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^{\times }\}$
$\{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^{\times }\}$
$\{x\in R\mid \forall z\in R\colon 1-zx\ \mathrm {ist\ linksinvertierbar} \}$

Eigenschaften

Der Ring ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und $J(R)=0$ ist.
Für jeden linksartinschen Ring ist der Ring $R/J(R)$ halbeinfach.
Ist linksartinsch, dann gilt für jeden -Linksmodul : $J(R)M=\mathrm {Rad} (M)$ .
$J(R)$ ist das kleinste Ideal von mit der Eigenschaft, dass halbeinfach ist.
Ist ein Nillinksideal von , dann gilt: $N\subseteq J(R)$ .
Ist linksartinsch, dann ist $J(R)$ ein nilpotentes Ideal.
Ist linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R\neq \{0\}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R\neq \{0\}$ gilt also $J(R)\neq R$ .

Beispiele

Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist $\{0\}$ ; ebenso das Jacobson-Radikal von $\mathbb {Z}$ .
Das Jacobson-Radikal von $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ ist $6\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ .
Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n\times n$ -Dreiecksmatrizen über einem Körper enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Basierend auf einem Artikel in:

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