Einbettung (Mathematik)

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

Häufig ist damit lediglich eine injektive Abbildung oder ein Monomorphismus gemeint. Beispielsweise spricht man von der kanonischen Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen.

Darüber hinaus gibt es in einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.

Topologie

In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen X und Y als Einbettung von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Im Allgemeinen ist eine Einbettung f\colon X\rightarrow Y nicht offen, d.h., für U\subset X offen muss f(U) nicht offen in Y sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung f:\mathbb{R} \to \mathbb{C} zeigt. Eine Einbettung f ist genau dann offen, wenn das Bild f(X) in Y offen ist.

Differentialtopologie

Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit X in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Y, die zudem noch eine Immersion ist.

Differentialgeometrie

Unter einer isometrischen Einbettung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (X,g_{1}) in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (Y,g_{2}) versteht man eine glatte Einbettung f von X in Y, so dass für alle Tangentialvektoren v,w in T_{x}X die Gleichung g_{2}(Df(v),Df(w))=g_{1}(v,w) gilt.

Eine isometrische Einbettung erhält die Längen von Kurven, sie muss aber nicht unbedingt die Abstände zwischen Punkten erhalten. Als Beispiel betrachte man den \mathbb {R} ^{n} mit der euklidischen Metrik und die Einheitssphäre S^{{n-1}}\subset {\mathbb  R}^{n} mit der induzierten Metrik. Nach Definition der induzierten Metrik ist die Inklusion S^{{n-1}}\rightarrow {\mathbb  R}^{n} eine isometrische Einbettung. Sie ist aber nicht abstände-erhaltend: zum Beispiel ist der Abstand zwischen Nord- und Südpol (d.h. die Länge einer kürzesten Verbindungskurve) auf der S^{{n-1}} gleich \pi , während ihr Abstand im \mathbb {R} ^{n} gleich 2 ist.

Körpertheorie

In der Körpertheorie ist jeder nichttriviale Ringhomomorphismus E\to F bereits eine Körpereinbettung, also ein Monomorphismus.

Ein Zahlkörper K\subset \mathbb{C} kann verschiedene Einbettungen K\subset \mathbb{C} haben. Eine Einbettung heißt reelle Einbettung, wenn ihr Bild in \mathbb {R} liegt, und komplexe Einbettung sonst. Zum Beispiel hat \mathbb{Q} ({\sqrt[ {3}]{2}}) eine reelle und zwei komplexe Einbettungen. (Die komplexen Einbettungen bilden {\sqrt[{3}]{2}} auf die anderen Nullstellen von x^{3}-2 ab.) Zu jeder komplexen Einbettung liefert das komplex-konjugierte eine andere komplexe Einbettung, weshalb die Anzahl der komplexen Einbettungen stets gerade ist. Es gilt \left[K:\mathbb{Q} \right]=r_{1}+2r_{2}, wobei r_{1} die Anzahl der reellen und 2r_2 die Anzahl der komplexen Einbettungen bezeichnet.

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.09. 2020