Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei D\subseteq {\mathbb  {C}} ein Gebiet, D_{f} isoliert in D und f\colon D\setminus D_{f}\to {\mathbb  {C}} holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt a\in D_{f} eine punktierte Umgebung U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D, die relativ kompakt in D liegt, mit f|_{U} holomorph. In diesem Fall besitzt f auf U eine Laurententwicklung \textstyle f|_{U}(z)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}. Dann definiert man für das Residuum von f in a

\operatorname {Res}_{a}(f):=c_{{-1}}={\frac  {1}{2\pi {\mathrm  {i}}}}\oint _{{\partial U}}f(z)dz.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel {\mathbb  {P}}_{1}=\mathbb{C} \cup \{\infty \} erweitern. Sei D_{f} wieder eine diskrete Menge in {\mathbb  {P}}_{1} und f\colon {\mathbb  {P}}_{1}\setminus D_{f}\to {\mathbb  {C}} eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle a\in D_{f} mit a\neq \infty das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für a=\infty \in D_{f} setzt man

\operatorname {Res}_{\infty }(f):=-c_{{-1}}={\frac  {1}{2\pi {\mathrm  {i}}}}\oint _{{\gamma }}f(z)dz\,,

wobei \gamma ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und c_{-1} ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.

Eigenschaften und Anmerkungen

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt a\in {\mathbb  {C}} in der Praxis verwendet werden:

Die Regeln über die logarithmische Ableitung {\tfrac  {f'}{f}} sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

Algebraische Sichtweise

Es seien K ein Körper und X eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über K. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt x\in X eine kanonische Abbildung

\operatorname {res}_{x}\colon \Omega _{{K(X)/K}}\to K,

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x zuordnet.

Ist x ein K-rationaler Punkt und t eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist \omega eine meromorphe Differentialform und \omega =f\,{\mathrm  d}t eine lokale Darstellung, und ist

f=\sum _{{k=-N}}^{\infty }a_{k}t^{k}

die Laurentreihe von f, so gilt

\operatorname {res}_{x}\omega =a_{{-1}}.

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall K=\mathbb C mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform \omega ist die Summe der Residuen null:

\sum _{{x\in X}}\operatorname {res}_{x}\omega =0.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.11. 2019