Halbeinfache algebraische Gruppe

In der Mathematik sind halbeinfache algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Definition

Eine zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper heißt halbeinfach, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

der maximale zusammenhängende auflösbare Normalteiler ist $\left\{1\right\}$
hat keinen nichttrivialen zusammenhängenden abelschen Normalteiler.

Beispiele

Die spezielle lineare Gruppe $SL_{n}$ ist halbeinfach.
Die projektive lineare Gruppe $PGL_{n}$ ist halbeinfach.
Die symplektische Gruppe $Sp_{2n}$ ist halbeinfach.
Nicht halbeinfach sind die allgemeine lineare Gruppe, die multiplikative Gruppe und die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Halbeinfache Lie-Gruppen

→ Hauptartikel: Halbeinfache Lie-Gruppe

Für eine halbeinfache algebraische Gruppe über $k=\mathbb {C}$ ist $G(\mathbb {C} )$ eine halbeinfache Lie-Gruppe.

Nicht jede halbeinfache Lie-Gruppe ist eine halbeinfache algebraische Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von $SL(2,\mathbb{R} )$ .

Klassifikation

Die Klassifikation halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist analog zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen durch Dynkin-Diagramme.

Literatur

J.E. Humphreys, "Linear algebraic groups", Springer (1975)
T.A. Springer, "Linear algebraic groups", Birkhäuser (1981)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de