Birkhoff-Integral

Das Birkhoff-Integral ist ein Integralbegriff, der 1935 von Garrett Birkhoff zur Integration von banachraumwertige Funktionen eingeführt wurde. Während das Bochner-Integral die direkte Verallgemeinerung des Lebesgueschen Integralbegriffs auf banachraumwertige Funktionen ist, stellt das Birkhoff-Integral in zweifacher Hinsicht eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar. Zum einen werden nun Funktionen betrachtet, welche über einem beliebigen \textstyle \sigma -endlichen Maßraum definiert sind. Des Weiteren werden nicht nur endliche Summen (die sog. Riemann-Summen) betrachtet, sondern unbedingt konvergente Reihen. Während jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem \mathbb {R} ^{n} Lebesgue-integrierbar ist, gilt andererseits, dass jede Bochner-integrierbare Funktion auf einem \textstyle \sigma -endlichen Maßraum Birkhoff-integrierbar sein muss.

Definition

Es seien \textstyle (\Omega ,{\mathcal  A},\mu ) ein \textstyle \sigma -endlicher Maßraum und \textstyle (B,\|\cdot \|) ein Banachraum und \textstyle f\colon \Omega \to B eine Funktion. Als Vorbereitung auf die eigentliche Definition werden hier zunächst drei grundlegende Abkürzungen eingeführt:

Mit Hilfe dieser Begrifflichkeiten kann nun das Birkhoff-Integral sozusagen als Verallgemeinerung des Riemann-Integrals definiert werden. Zuerst wird der Begriff der Riemann-Summen über einer Partition des Definitionsbereichs verallgemeinert:

\textstyle f heißt unbedingt summierbar unter der abzählbaren \textstyle \mu -Partition \textstyle \Gamma von \textstyle \Omega , wenn gilt: {\displaystyle \textstyle \forall (b_{M})_{M\in \Gamma }\in \prod _{M\in \Gamma }f(M)\colon \sum _{M\in \Gamma }\mu (M)b_{M}} ist unbedingt konvergent.

Jede formal mögliche abzählbare Riemann-Summe über der \textstyle \mu -Partition muss also unbedingt konvergent sein. In der nächsten Definition werden dann alle Riemann-Summen-Werte dieser \textstyle \mu -Partition gesammelt:

\sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)f(M):={\bigg \{}\sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)b_{{M}}\,{\Big |}\,\forall \,M\in \Gamma :b_{{M}}\in f(M){\bigg \}}.

Man nennt \textstyle f (unbedingt) Birkhoff-integrierbar, wenn es eine Folge \textstyle (\Gamma _{i})_{{i\in {\mathbb  {N}}}} von abzählbaren \textstyle \mu -Partitionen gibt mit \textstyle \forall \,i\in {\mathbb  {N}}:f ist unbedingt summierbar unter \textstyle \Gamma _{{i}} und zudem noch gilt

\displaystyle \lim _{{i\to \infty }}{\mathrm  {diam}}{\bigg (}\overline {{\mathrm  {konv}}{\Big (}\sum _{{M\in \Gamma _{{i}}}}\mu (M)f(M){\Big )}}{\bigg )}=0.

Die Durchmesser der zur Partitionsfolge gehörigen Mengen der Riemann-Summen-Werte (zuvor konvex- und dann topologisch abgeschlossen) müssen also gegen Null konvergieren. Dann gibt es nämlich genau ein Element \textstyle b im Durchschnitt

\bigcap _{{i=1}}^{{\infty }}\overline {{{\rm {konv}}}{\Big (}\sum _{{M\in \Gamma _{{i}}}}\mu (M)f(M){\Big )}}.

Dieses ist zudem unabhängig von der konkreten Wahl der Folge \textstyle (\Gamma _{i})_{{i\in {\mathbb  {N}}}} und als das (unbedingte) Birkhoff-Integral definiert man

\int _{\Omega }f\,{{\rm {d}}}\mu :=b.

Vergleich mit anderen Integralbegriffen

Sei \textstyle \;\ell ^{2}\left([0,1]\right):=\left\{(x_{i})_{{i\in [0,1]}}\in \mathbb{R} ^{{[0,1]}}\;{\Big |}\;\sum _{{i\in [0,1]}}x_{i}^{2}<\infty \right\}\, versehen mit der Norm \textstyle \|(x_{i})_{{i\in [0,1]}}\|:={\sqrt  {\left(\sum _{{i\in [0,1]}}x_{i}^{2}\right)}}, siehe allgemeiner \textstyle \ell ^{p}-Raum und {\displaystyle \textstyle f\colon [0,1]\to \ell ^{2}\left([0,1]\right);\,x\mapsto \chi _{\{x\}}}, wobei das Bild von \textstyle x unter \textstyle f gerade die Charakteristische Funktion von \textstyle x ist.
\textstyle f ist nicht Bochner-integrierbar, denn sonst wäre \textstyle f auch \textstyle \mu -messbar. Mit Hilfe des Messbarkeitssatz von Pettis folgt aber, dass \textstyle f nicht \textstyle \mu -messbar ist, denn \textstyle f\left([0,1]\right) ist nicht \textstyle \mu -fast überall separabel. Das Riemann-Integral und damit auch das Birkhoff-Integral von \textstyle f ist {\displaystyle \textstyle {\mathfrak {0}}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ;\,x\mapsto 0}.

Eigenschaften

\int _{{\Omega }}\alpha f+\beta g\,{{\rm {d}}}\mu =\alpha \int _{{\Omega }}f\,{{\rm {d}}}\mu +\beta \int _{{\Omega }}g\,{{\rm {d}}}\mu .
f ist genau dann Birkhoff-integrierbar mit \textstyle x=\int _{{\Omega }}f\,{{\rm {d}}}\mu wenn gilt
\forall \,\varepsilon >0\,\exists \, eine abzählbare \textstyle \mu -Partition \textstyle \Gamma :f ist unbedingt summierbar unter \textstyle \Gamma und \textstyle \;\;\sup {\Big \{}\,\|y-x\|\,{\Big |}\,y\in \sum _{{M\in \Gamma }}\mu (M)f(M)\,{\Big \}}<\varepsilon .
T\left(\int _{\Omega }f{\mathrm  {d}}\mu \right)=\int _{\Omega }T\circ f{\mathrm  {d}}\mu .

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.03. 2021