Maßraum

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

Das Tripel (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ) heißt Maßraum, wenn

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum (\Omega ,{\mathcal  A}) versehen mit einem Maß \mu definieren.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge \Omega ={\mathbb  {N}}, als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge {\mathcal  {A}}={\mathcal  {P}}({\mathbb  {N}}) und als Maß das Diracmaß auf der 1: \mu =\delta _{1}.

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge \mathbb {R} , versehen mit der borelschen σ-Algebra {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}) und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume (\Omega,\mathcal{A},P) sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge \Omega , der Ereignisalgebra {\mathcal {A}} und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P.

Klassen von Maßräumen

Endliche Maßräume

Ein Maßraum (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ) wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also {\displaystyle \mu (\Omega )<\infty } ist.

σ-endliche Maßräume

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra  \mathcal A ) ist.

Vollständige Maßräume

Hauptartikel: Vollständiger Maßraum

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

Ist  \mathcal A eine σ-Algebra über der Grundmenge  \Omega und \nu ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\nu )} einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

Ein Maßraum {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem  \mathcal S \subset \mathcal A existiert, so dass für alle A\in {\mathcal  A} und beliebige \varepsilon >0 ein {\displaystyle S\in S} existiert, so dass {\displaystyle \mu (A\triangle S)<\varepsilon } ist.

Zerlegbare Maßräume

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.09. 2017