Konkrete Kategorie

Eine konkrete Kategorie ist in der Mathematik eine Kategorie zusammen mit einem treuen Funktor von ihr in die Kategorie der Mengen („Vergissfunktor“). Eine Kategorie, zu der solch ein Vergissfunktor existiert, heißt konkretisierbare Kategorie. Vermöge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusätzlichen mathematischen Struktur vorstellen, wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind.

Motivation

Viele wichtige Kategorien sind ohnehin in folgender Form gegeben:

Durch den offensichtlichen Funktor in die Kategorie der Mengen sind solche Kategorien konkretisierbar. Dies ist insbesondere der Fall für die Kategorie Top der topologischen Räume (mit stetigen Abbildungen als Morphismen), für die Kategorie Grp der Gruppen und trivialerweise auch für die Kategorie Set der Mengen selbst. Wenn man auf diese Weise von Elementen eines Objektes sprechen kann, ermöglicht dies beispielsweise einfache und anschauliche Definitionen von Begriffen wie Kern und Bild eines Morphismus und das Beweisverfahren der Diagrammjagd. Eine wichtige Aussage in dieser Richtung liefert etwa der Einbettungssatz von Mitchell.

Definition

Sei X eine Kategorie, die sogenannte Basiskategorie. Eine konkrete Kategorie über X ist ein Paar (C,U) aus einer Kategorie C und einem treuen Funktor {\displaystyle U\colon C\to X} in die Basiskategorie. Eine Kategorie C heißt über X konkretisierbar, wenn es eine über X konkrete Kategorie (C,U), d.h. einen treuen Funktor {\displaystyle U\colon C\to X} gibt.

Falls X die Kategorie Set der Mengen und Abbildungen ist, heißt (C,U) auch schlicht konkrete Kategorie und C konkretisierbar. Einige Autoren bezeichnen eine konkrete Kategorie auch als Konstrukt.

Der Funktor U wird auch als Vergissfunktor bezeichnet, der jedem Objekt von C sein zugrunde liegendes X-Objekt (bzw. zugrunde liegende Menge) und jedem Morphismus in C seinen zugrunde liegenden X-Morphismus (bzw. zugrunde liegende Abbildung) zuordnet.

Bemerkungen

Beispiele

Gegenbeispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 31.07. 2019