Schwache Konvergenz in Lp
Die schwache Konvergenz in
und die schwache Konvergenz in
sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus
der Maßtheorie. Sie sind
ein Spezialfall der schwachen
Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in Lp-Räumen. Zu
beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik
mehrere verschiedene Konzepte von schwacher
Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In
Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in
oder
wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz
im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in
oder
bezeichnet.
Definition
Gegeben sei ein Maßraum
sowie
und
,
also
mit
,
der zu
konjugierte
Index. Außerdem seien
aus
,
kurz
,
dem Raum der
p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge
heißt schwach konvergent gegen
,
wenn für alle
gilt, dass
ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus .
Man schreibt dann in beiden Fällen
.
Einordnung
In der Funktionalanalysis
versteht man unter schwacher
Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum
bildet man den topologischen
Dualraum
.
Eine Folge
in
heißt dann schwach konvergent gegen
,
wenn
ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den
für
,
so ist der Dualraum normisomorph zum
(siehe auch Dualität
von Lp-Räumen), wobei
der zu
konjugierte
Index ist, also
.
Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form
.
Somit ist eine Folge von
schwach konvergent in
,
wenn
für alle ,
was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in
ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der
Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.
Eindeutigkeit
Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in
ist nur bis auf eine
-Nullmenge
eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen
und schwach gegen
konvergiert folgt, dass
-fast
überall ist.
Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in
aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.
Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen
Konvergenz lokal nach Maß
Aus der Konvergenz
lokal nach Maß folgt für
unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge
aus
gegen
lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen
beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen
.
Für
ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt:
Betrachtet man den Maßraum
,
so konvergiert die Folge
lokal nach Maß gegen 0 und es ist
für alle
.
Aber für die konstante Funktion
aus
ist dann
.
Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.
Konvergenz im p-ten Mittel
Jede im p-ten
Mittel konvergente Folge konvergiert für
auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung
folgt
,
somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann
überein. Der Satz
von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er
besagt, dass für
eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach
konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der
Grenzfunktion konvergiert.
Literatur
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.01. 2021