Standard-Borel-Raum

In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Standard-Borel-Räume eine sehr allgemeine Klasse von Maßräumen.

Definition

Ein Messraum $(\Omega ,{\mathcal A})$ ist ein Standard-Borel-Raum, wenn er isomorph zu einem polnischen Raum mit seiner borelschen σ-Algebra ist.

Klassifikation

Standard-Borel-Räume werden durch ihre Kardinalität klassifiziert. Insbesondere ist jeder überabzählbare Standard-Borel-Raum isomorph zu den reellen Zahlen mit ihrer borelschen σ-Algebra.

Eigenschaften

Wenn es auf einem Raum zwei σ-Algebren $\mathcal{A}\subset\mathcal{B}$ gibt, für die $(X,\mathcal{A}),(X,\mathcal{B})$ Standard-Borel-Räume sind, dann ist $\mathcal{A}=\mathcal{B}$ .
Zu jeder bijektiven messbaren Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist auch die Umkehrabbildung messbar.
Eine Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist genau dann messbar, wenn ihr Graph eine messbare Teilmenge des Produktraumes ist.
Die Vervollständigung eines mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß versehenen Standard-Borel-Raumes ist ein Standard-Wahrscheinlichkeitsraum.

Basierend auf einem Artikel in:

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