Basis (Modul)

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.

Definition

Ein System von Elementen \{x_{i}\mid i\in I\} eines Moduls M über einem Ring R mit Einselement definiert eine Abbildung

\xi \colon R^{{(I)}}\longrightarrow M

von der direkten Summe von Kopien von R nach M, die von den Abbildungen

R\to M,\quad 1\mapsto x_{i}

induziert wird.

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften

Die lineare Unabhängigkeit von \{x_{i}\mid i\in I\} ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

\sum a_{i}x_{i}=0\quad \Longrightarrow \quad a_{i}=0\ {\mathrm  {f{\ddot  u}r\ alle}}\ i\in I.

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

Als Beispiele betrachte man den \mathbb {Z} -Modul \mathbb {Z} : Das System {2} ist maximal linear unabhängig, das System {2,3} ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

Induktive Berechnung einer Basis

Ist M ein freier Modul über einem Hauptidealring R und N ein Untermodul von M, dann kann eine Basis von N induktiv berechnet werden:

Sei \{m_{1},\dotsc ,m_{n}\} eine Basis von M, betrachte N_{i}=N\cap \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle .

Das Ideal \{r\in R:\exists m\in N_{{i+1}}{\text{ mit }}m=m'+r\cdot m_{{i+1}}{\text{ und }}m'\in \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle \} werde von dem Ringelement a_{{i+1}} erzeugt und es sei

n_{{i+1}}=m'+a_{{i+1}}\cdot m_{{i+1}}\in N_{{i+1}}{\text{ mit }}m'\in \langle m_{1},\dotsc ,m_{i}\rangle ,

dann gilt N_{{i+1}}=N_{i}\oplus R\cdot n_{{i+1}}.

Beispiel

Sei M=\mathbb{Z } ^{3}=\langle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle ein \mathbb {Z} -Modul und der Untermodul definiert durch {\displaystyle N:=\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}+4z_{3}=0\land 5{\text{ teilt }}z_{2}\}}.

Eine Basis von N kann nun wie folgt berechnet werden:

N_{1}=N\cap \langle (1,0,0)\rangle =\{z\in \mathbb{Z } ^{3}:2z_{1}=0\}=\{(0,0,0)\}
{\displaystyle N_{2}=N\cap \langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle =\{z\in \mathbb {Z} ^{3}:2z_{1}+3z_{2}=0\land 5\vert z_{2}\}}

Wir suchen nun das kleinste positive z_{2}, welches obige Gleichung erfüllt.

\Rightarrow N_{2}=\langle (-15,10,0)\rangle

N_{3}=N\cap \langle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\rangle =N

Wir suchen das kleinste positive z_{3}, welches die Gleichung erfüllt.

\Rightarrow N_{3}=N_{2}\oplus \langle (-2,0,1)\rangle

Wir haben eine Basis N=\langle (-15,10,0),(-2,0,1)\rangle gefunden.

Beispiele

ℤ als ℤ-Modul

Es sei M={\mathbb  Z} die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

Die einzigen Basen von M sind \{1\} und \{-1\}.

Gitter in ℝn als ℤ-Modul

Gitter mit Basisvektoren b_1=(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}) und b_2=(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3})

Es seien b_1, b_2, \ldots, b_m linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums \mathbb {R} ^{n}. Dann nennt man den \mathbb {Z} -Modul

\Gamma := \langle b_1,\dots,b_m \rangle_\mathbb{Z} := \left\{\left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^m g_i b_i \ \right|\, g_i\in\mathbb{Z}\right\}

ein Gitter mit Basis \{b_1, b_2, \ldots, b_m\} vom Rang m.

Gitter in {\mathbb  C}={\mathbb  R}^{2} spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven, Gitter in {\mathbb  C}^{g}={\mathbb  R}^{{2g}} stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.12. 2020