Komplexe Mannigfaltigkeit

Komplexe Mannigfaltigkeiten sind topologische Mannigfaltigkeiten mit Modellraum \mathbb {C} ^{n}, deren Kartenwechselhomöomorphismen sogar biholomorph sind. Diese Objekte werden in der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie untersucht. Ihre Definition ist analog zu der Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, jedoch kann im Gegensatz zu den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht jede komplexe Mannigfaltigkeit in den \mathbb {C} ^{n} eingebettet werden.

Definitionen

Sei M ein topologischer Hausdorff-Raum, welcher dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt. Weiterhin sei n eine natürliche Zahl.

Komplexer Atlas

Eine Karte der komplexen Dimension n ist eine offene Teilmenge U\subset M zusammen mit einem Homöomorphismus

\phi \colon U \to \phi(U) \subset \mathbb C^n.

Eine Karte ist also ein 2-Tupel (U,\phi ).

Ein komplexer Atlas A (der Dimension n) ist eine Menge solcher Karten, so dass

{\displaystyle M=\bigcup _{(U,\phi )\in A}U}

gilt, mit der Eigenschaft, dass für je zwei Karten (U,\phi ), {\displaystyle (V,\psi )\in A} die Kartenwechselabbildungen

{\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}\colon \ \psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)}

biholomorph sind.

Komplexe Struktur

Eine komplexe Struktur ist ein bezüglich Inklusion maximaler komplexer Atlas. Jeder komplexe Atlas ist in genau einer komplexen Struktur enthalten, nämlich in der Vereinigung aller zu ihm äquivalenten Atlanten. Dabei sind zwei komplexe Atlanten äquivalent, falls ihre Vereinigungsmenge ebenfalls ein komplexer Atlas ist (d.h. wenn alle Kartenwechselabbildungen zwischen den beiden Atlanten biholomorph sind).

Bemerkung: Alternativ kann man eine komplexe Struktur auch als eine Äquivalenzklasse bezüglich dieses Äquivalenzbegriffs definieren.

Komplexe Mannigfaltigkeit

Versieht man M nun mit einer solchen komplexen Struktur, so spricht man von einer komplexen Mannigfaltigkeit. Genauer gesagt ist ein 2-Tupel {\displaystyle (M,S)} eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n, wenn S eine komplexe Struktur der Dimension n auf M ist. Die Karten aus S werden dann auch als Karten der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Holomorphe Funktionen, Strukturgarbe

Eine Funktion f\colon M\to\C heißt holomorph in x\in M, wenn für eine Karte (U,\phi ) mit x\in U die Funktion {\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\to \mathbb {C} } eine in \phi (x) holomorphe Funktion ist. Wegen der obigen Kompatibilitätsbedingung ist diese Bedingung unabhängig von der gewählten Karte. Eine Funktion heißt holomorph auf einer offenen Teilmenge U\subset M, wenn sie in jedem Punkt x\in U holomorph ist.

Als Strukturgarbe \mathcal{O}_M der komplexen Mannigfaltigkeit M wird die Garbe der holomorphen Funktionen bezeichnet. (M,\mathcal{O}_M) ist ein geringter Raum.

Eigenschaften

Beispiele

Fastkomplexe Mannigfaltigkeiten

Hauptartikel: Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit ist der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die Tangentialräume sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit i sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums T_pM die Aufgabe der Abbildung J_p.

Fastkomplexe Struktur

Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist eine glatte Abbildung J \colon TM\to TM mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung J_p:=J|_{T_pM} auf den Tangentialraum zu jedem Punkt p\in M eine bijektive lineare Abbildung ist, die

J_p \circ J_p = - \mathrm{id}.

erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit i^2 = -1 .)

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf M.

Eigenschaften

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.02. 2021