σ-Subadditivität

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem {\mathcal {M}} auf der Grundmenge X, also  \mathcal M \subset \mathcal P (X) . Eine Abbildung

{\displaystyle f\colon {\mathcal {M}}\to \left[0,\infty \right]}

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots } aus {\mathcal {M}} und jedes {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} mit {\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}} gilt, dass

{\displaystyle f(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})}

ist. Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist, {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}}} zu fordern.

Beispiele

Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.09. 2017