Ordnungstopologie

Auf einer streng total geordneten Menge kann man in natürlicher Weise eine Topologie einführen, die mit der Ordnung verträglich ist. Diese Topologie wird Ordnungstopologie genannt. Einige topologische Begriffe wie diskret und dicht lassen sich so auf Ordnungen übertragen. Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit erweist sich in der Ordnungstopologie für nicht zu „große“ geordnete Mengen als verwandt mit dem Begriff der Vollständigkeit in metrischen Räumen.

Definition

Man verwendet die Symbole $-\infty$ und $+\infty$ zur Bezeichnung von Elementen außerhalb einer streng totalgeordneten Menge X und setzt die Ordnung „<“ auf $X^{*}=X\cup \{-\infty ,+\infty \}$ fort, indem man für alle $x\in X$ festsetzt: $-\infty <x<+\infty$ . Die offenen Mengen der Ordnungstopologie sind:

die offenen Intervalle $\left]a,b\right[:=\{x\in X:a<x<b\}$ , dabei sind $a,b\in X^{*}$ ,
beliebige, auch unendliche Vereinigungen von diesen offenen Intervallen.

Andere, gleichwertige Formulierungen:

Die Ordnungstopologie auf X ist die gröbste Topologie, in der die „offenen Intervalle“ im Sinn der Topologie offen sind.
Die „offenen Intervalle“ bilden eine Basis der Ordnungstopologie.

Beachte: Manchmal enthält die Menge X bereits „unendliche“ Elemente, die mit „ $-\infty$ “ und „ $+\infty$ “ bezeichnet sind. Die zusätzlichen Elemente aus der obigen Definition müssen dann von den in X bereits vorhandenen unterschieden werden! Die Einführung der zusätzlichen Elemente lässt sich im Prinzip – wegen der in Beweisen erforderlichen Fallunterscheidungen allerdings auf Kosten der Argumentationseleganz – vermeiden, indem man bei den offenen Intervallen zusätzlich selbst sowie Mengen der Form $\{x\in X:a<x\}$ oder $\{x\in X:x<b\}$ aufzählt.

Beispiele

Die reellen Zahlen mit ihrer gewöhnlichen Anordnung „<“: Die Ordnungstopologie stimmt hier mit der gewohnten Topologie (der reellen Zahlen als metrischer Raum) überein.
Die Ordnungstopologie auf der Menge der ganzen Zahlen ist die diskrete Topologie.
Mengen von Ordinalzahlen werden – mit ihrer Ordnungstopologie versehen – in der Topologie oft als Gegenbeispiele verwendet.

Anwendungen

Durch die Ordnungstopologie kann man einige Eigenschaften von Ordnungen topologisch beschreiben, (X,<) ist hier immer eine streng totalgeordnete Menge:

Eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte Teilmenge enthält ihr Infimum und ihr Supremum, sofern sie in existieren.
Die Ordnung < heißt diskret, wenn es ihre Ordnungstopologie ist. Ohne topologische Begriffe lässt sich eine diskrete Ordnung so charakterisieren:

Jedes Element hat einen eindeutigen Vorgänger, es sei denn, es ist Minimum von .
Jedes Element hat einen eindeutigen Nachfolger, es sei denn, es ist Maximum von .

Anschaulich sind die Elemente durch die diskrete Ordnung wie an Perlenschnüren aufgereiht, beachte aber das 6. Beispiel unten.

Eine Teilmenge von liegt dicht in im Sinne der Ordnungstheorie, wenn zwischen zwei Elementen aus stets ein Element aus mit liegt. Ist in sich dicht im Sinne der Ordnungstheorie, so liegt genau dann dicht in im Sinne der Ordnungstheorie, wenn dicht in bezüglich der Ordnungstopologie ist.
Eine diskret geordnete Menge ist (außer im Trivialfall einer einelementigen Menge) niemals dicht (in sich) geordnet und umgekehrt.
Eine Ordnung auf heißt ordnungsvollständig, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum.
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. (Die sogenannte Supremumseigenschaft.)
Jede nichtleere beschränkte Menge besitzt Infimum und Supremum.

Ist die Ordnungstopologie auf metrisierbar, dann ist die Ordnung (X,<)

genau dann ordnungsvollständig, wenn > vollständig metrisierbar ist, d.h. wenn es eine Metrik auf gibt, die die Ordnungstopologie erzeugt und zu einem vollständigen metrischen Raum macht.

Jede in sich dichte, strenge Totalordnung lässt sich mit der Methode der „Dedekindschen Schnitte“ in eine ordnungsvollständige Ordnung $(\overline {X},<)$ einbetten. Im Artikel Dedekindscher Schnitt wird dies am Beispiel der rationalen Zahlen ausgeführt. Diese Konstruktion funktioniert auch in „großen“ Ordnungen, deren Ordnungstopologie sich nicht metrisieren lässt.

Beispiele

Die im Folgenden genannten Eigenschaften beziehen sich immer auf die in den Mengen übliche, natürliche Ordnung:

Die natürlichen Zahlen sind diskret geordnet. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Die ganzen Zahlen sind diskret geordnet. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger.
Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig.
Die rationalen Zahlen sind nicht ordnungsvollständig, aber dicht (in sich) geordnet.
Die rationalen Zahlen bilden eine dichte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.
Die Menge der Stammbrüche $B:=\left\{\left.{\tfrac {1}{z}}\,\right|z\in {\mathbb {Z}}\setminus \left\{0\right\}\right\}$ ist diskret geordnet. Anschaulich besteht die Ordnung hier aus zwei Perlenschnüren: Die Ordnung der negativen Stammbrüche entspricht der Ordnung der natürlichen Zahlen, die Ordnung der positiven Stammbrüche deren Umkehrung. Von einer der Perlenschnüre lässt sich die andere jedoch nie durch fortgesetzte Vorgänger- oder Nachfolgerbildung erreichen.
Fügt man zu aus dem vorigen Beispiel die Zahl 0 hinzu, dann ist die Ordnung nicht mehr diskret, denn 0 hat weder einen Vorgänger noch einen Nachfolger. Sie ist aber auch nicht dicht.

Die Ordinalzahl $\omega +1$ .
Die Ordinalzahl $\omega +1={\mathbb {N}}\cup \{{\mathbb {N}}\}$ ist nicht diskret geordnet: Das Limeselement ${\mathbb {N}}=\omega$ hat keinen Vorgänger, jede seiner Umgebungen enthält unendlich viele natürliche Zahlen. (Als Ordinalzahl wird die Menge der natürlichen Zahlen üblicherweise mit $\omega$ bezeichnet.)

Andere Topologien, die mit der Ordnung zusammenhängen

Auf einer streng totalgeordneten Menge (wie den reellen Zahlen) werden manchmal auch die „Halbgeraden“

$\left]-\infty ,b\right[\;:=\{x\in X\mid x<b\},\quad b\in X^{*}$ oder
$\left]a,+\infty \right[\;:=\{x\in X\mid a<x\},\quad a\in X^{*}$

als Basis je einer Topologie, der Topologie der nach oben beschränkten (1.) bzw. der nach unten beschränkten Mengen (2.) zugrunde gelegt. Die beiden Topologien sind (für Mengen, die mehr als einen Punkt enthalten) voneinander verschieden und die Ordnungstopologie ist ihre kleinste gemeinsame Verfeinerung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de