Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

Definition

Eine k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu B^{k}:=[0,1]^{k} homöomorph ist. Eine offene k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von B^{k} homöomorph ist. k nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum X, der in offene Zellen (c_{i})_{{i\in I}} zerfällt, wobei gilt:

  1. zu jeder k-Zelle c_{i}\subseteq X existiert eine stetige Abbildung f_{i}:B^{k}\rightarrow X so dass das Innere von B^{k} homöomorph auf c_{i} und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension <k abgebildet wird. (f_{i} heißt die charakteristische Abbildung der Zelle c_{i}.)
  2. M\subseteq X ist genau dann abgeschlossen, wenn M\cap f_{i}(B^{k}) für alle i\in I abgeschlossen ist.

Das k-Skelett eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen \leq k.

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele

Zelluläre Abbildungen

Das n-Skelett K_n eines CW-Komplexes K ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension \leq n.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung f\colon K\to L, die jede n-Zelle von K in das n-Skelett von L abbildet. (Dabei müssen n-Zellen nicht notwendig auf n-Zellen abgebildet werden.)

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 15.06. 2020