Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls \mathbf p eines Teilchens der Masse m nichtlinear von der Geschwindigkeit \mathbf v ab:

{\mathbf  p}=\gamma m{\mathbf  v}={\frac  {m\,{\mathbf  v}}{{\sqrt  {1-{\frac  {{\mathbf  v}^{2}}{c^{2}}}}}}}

Dabei ist \gamma der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten (v\ll c) ist \gamma gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

{\mathbf  p}_{{{\text{Newton}}}}=m\,{\mathbf  v}

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft \mathbf F Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

{\mathbf  F}={\frac  {{\mathrm  d}{\mathbf  p}}{{\mathrm  d}t}}

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse m in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit \mathbf v abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

S[{\mathbf  X}]=\int \,{{\mathcal  L}}{\bigl (}t,{\mathbf  x}(t),{\frac  {{\mathrm  d}{\mathbf  x}}{{\mathrm  d}t}}(t){\bigr )}\,{\mathrm  d}t

mit der Lagrangefunktion

{{\mathcal  L}}(t,{\mathbf  x},{\mathbf  v})=-m\,c^{2}{\sqrt  {1-{\frac  {{\mathbf  v}^{2}}{c^{2}}}}}.

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort \mathbf x abhängt, (das heißt, die Komponenten x^{i}\,,i=1,2,3\,, sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu \mathbf x konjugierte Impuls mit Komponenten

p_{i}={\frac  {\partial {{\mathcal  L}}}{\partial v^{i}}}={\frac  {m\,v^{i}}{{\sqrt  {1-{\mathbf  v}^{2}/c^{2}}}}}, also
{\mathbf  p}={\frac  {m\,{\mathbf  v}}{{\sqrt  {1-{\mathbf  v}^{2}/c^{2}}}}}\,.

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit t abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

E=v^{i}{\frac  {\partial {{\mathcal  L}}}{\partial v^{i}}}-{{\mathcal  L}}={\frac  {m\,c^{2}}{{\sqrt  {1-{\mathbf  v}^{2}/c^{2}}}}}

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

{\mathbf  {v}}={\frac  {{\mathbf  p}}{{\sqrt  {m^{2}+{\mathbf  p}^{2}/c^{2}}}}},

wie sie sich umgekehrt aus {\mathbf  p}({\mathbf  v}) ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

H(t,{\mathbf  {x}},{\mathbf  {p}})={\sqrt  {m^{2}\,c^{4}+{\mathbf  p}^{2}\,c^{2}}}.

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 18.01. 2018