Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential \phi führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall – der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung \phi (x,y)={\text{const.}}, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion \psi ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung \psi (x,y)={\text{const.}} die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld {\vec  u}(x,y) gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

{\vec  \nabla }\times {\vec  u}(x,y)=0

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential \phi (x,y) ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

{\vec  u}(x,y)={\vec  \nabla }\phi (x,y)=\left({\frac  {\partial \phi }{\partial x}},{\frac  {\partial \phi }{\partial y}}\right)

Wegen {\vec  \nabla }\times {\vec  \nabla }\phi (x,y)=0 ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

{\vec  \nabla }\cdot {\vec  u}(x,y)=0

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass \phi (x,y) die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

{\vec  \nabla }\cdot {\vec  u}(x,y)={\vec  \nabla }\cdot {\vec  \nabla }\phi (x,y)=\Delta \phi (x,y)=0

Die Stromfunktion

Hauptartikel: Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential \phi (x,y) wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion \psi (x,y) ein, die definiert ist durch:

{\vec  u}=\left({\frac  {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac  {\partial \psi }{\partial x}}\right)

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

{\vec  \nabla }\cdot {\vec  u}={\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x\cdot \partial y}}-{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial y\cdot \partial x}}=0

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

{\frac  {\partial u_{y}}{\partial x}}-{\frac  {\partial u_{x}}{\partial y}}={\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac  {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential \phi und Stromfunktion \psi ergibt sich:

u_{x}={\frac  {\partial \phi }{\partial x}}={\frac  {\partial \psi }{\partial y}}\quad \wedge \quad u_{y}={\frac  {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac  {\partial \psi }{\partial x}}

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil \phi und Imaginärteil \psi . Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential w(z) ein:

w(z)=\phi (z)+i\cdot \psi (z)\quad {\textrm  {mit}}\quad z=x+i\cdot y

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

\Delta w(z)=\Delta \phi (z)+i\cdot \Delta \psi (z)=0

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.09. 2022