Gradient (Mathematik)

Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.

Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.

In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt , der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x,y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von an der Stelle (x,y) ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem Nabla-Operator $\nabla$ (um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann, bisweilen auch ${\vec {\nabla }}$ oder ${\underline {\nabla }}$ ).

Definition

Auf $\mathbb {R} ^{n}$ sei das Skalarprodukt $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ gegeben. Der Gradient $\operatorname {grad}$ der total differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ im Punkt $a\in \mathbb {R} ^{n}$ ist der durch die Forderung

$\mathrm {d} f(a)h=\langle \operatorname {grad} f(a),h\rangle \quad (h\in \mathbb {R} ^{n})$

eindeutig bestimmte Vektor $\operatorname {grad} f(a).$ Der Operator $\mathrm {d}$ ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung. Die Definition des Gradienten für Skalarfelder $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ lässt sich auf Vektorfelder $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ erweitern. Dieser verallgemeinerte Gradient wird als Vektorgradient bezeichnet.

Koordinatendarstellung

Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische Koordinaten

Im $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist $\operatorname {grad} f(a)$ der Spaltenvektor

$\operatorname {grad} (f)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\hat {e}}_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\hat {e}}_{n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.$

Die Einträge ${\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ sind die partiellen Ableitungen von in $x_{i}$ -Richtung. Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch $\nabla f$ (gesprochen „Nabla “) statt $\operatorname {grad} {f}$ . In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}\,,$

wobei ${\hat {e}}_{x}$ , ${\hat {e}}_{y}$ und ${\hat {e}}_{z}$ die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.

Rechenbeispiel

Gegeben sei ein Skalarfeld durch $f(x,y)=2x^{2}-y^{2}.$ Somit sind die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x}}=4x$ und ${\frac {\partial f}{\partial y}}=-2y$ und es folgt > $\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}=4x{\hat {e}}_{x}-2y{\hat {e}}_{y}$ oder in Vektordarstellung $\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}4x\\-2y\end{pmatrix}}.$

Für den Punkt P(2|1) lautet beispielsweise der Gradientvektor ${\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$ . Der Betrag ist $\left|{\begin{pmatrix}8\\-2\\\end{pmatrix}}\right|={\sqrt {8^{2}+(-2)^{2}}}\approx 8{,}25$ .

Zylinder- und Kugelkoordinaten

Darstellung in dreidimensionalen Zylinderkoordinaten: $V=V\left(\rho ;\varphi ;z\right)$

$\operatorname {grad} V={\frac {\partial V}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Darstellung in dreidimensionalen Kugelkoordinaten: $V=V\left(r;\vartheta ;\varphi \right)$

$\operatorname {grad} V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\hat {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }$

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale Koordinaten

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

$\operatorname {grad} f=\sum _{a}{{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial f}{\partial {q_{a}}}}\,{\hat {e}}_{q_{a}}}\,,$

wobei die $h_{a}$ den Betrag und ${\hat {e}}_{q_{a}}$ die Richtung des Vektors ${\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}$ angeben.

Allgemein krummlinige Koordinaten

In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

$\operatorname {grad} f=\sum _{a}{\frac {\partial f}{\partial q_{a}}}\,{\vec {G}}^{a}\,,$

worin ${\vec {G}}^{a}$ der Gradient der Koordinate $q_{a}$ ist.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung

Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist ${\mathcal {V}}$ ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand $\partial {\mathcal {V}}$ und dem Volumen dann kann der Gradient des Skalarfelds $f\colon {\mathcal {V}}\to \mathbb {R}$ im Punkt $p\in {\mathcal {V}}$ mittels der Volumenableitung durch

$\operatorname {grad} f=\lim _{V\rightarrow 0}{\frac {\oint _{\partial {\mathcal {V}}}f\,\mathrm {d} {\vec {A}}}{V}}$

berechnet werden. Dabei bezeichnet $\mathrm {d} {\vec {A}}={\tfrac {\vec {n}}{\mid {\vec {n}}\mid }}\mathrm {d} A$ das äußere vektorielle Flächenelement von $\partial {\mathcal {V}},$ wobei ${\vec {n}}$ der nach außen zeigende Normalenvektor und $\mathrm {d} A$ das skalare Flächenelement ist.

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet ${\mathcal {V}}$ auf den Punkt zusammengezogen, sodass sein Inhalt gegen null geht. Ersetzt man durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet ${\mathcal {V}}$ wählt.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Für eine glatte Funktion auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) ist der Gradient von dasjenige Vektorfeld $\nabla f$ , mit dem für jedes Vektorfeld die Gleichung

$g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,\qquad \mathrm {d.\,h.} \quad g_{x}((\nabla f)_{x},X_{x})=(\partial _{X}f)(x),$

gilt, wobei $g_{x}(\cdot ,\cdot )$ das durch definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an ist und $\partial _{X}f$ (oft auch $X(f)$ bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt $x\in M$ die Richtungsableitung von in Richtung , ausgewertet in , zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte $\varphi$ von einer offenen Teilmenge von auf eine offene Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$ ist $(\partial _{X}f)(x)$ gegeben durch:

$\sum _{j=1}^{n}X^{j}(\varphi (x)){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)},$

wobei $X^{j}$ die -te Komponente von in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

$\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.$

Analog zum Fall $M=\mathbb {R} ^{n}$ hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

$(\partial _{X}f)(x)=df_{x}(X_{x})\ .$

Genauer: $\nabla f$ ist das der 1-Form $\mathrm {d} f$ unter dem mittels der Metrik definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

$\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM$

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Geometrische Interpretation

Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Der Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des Skalarfeldes in einem Punkt . Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.

Eigenschaften

Für alle Konstanten $c\in \mathbb {R}$ und Skalarfelder $u,\,v\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ gilt:

$\operatorname {grad} c={\vec {0}}$

Linearität

$\operatorname {grad} (c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} u$

$\operatorname {grad} (u+v)=\operatorname {grad} u+\operatorname {grad} v$

Produktregel

$\operatorname {grad} (u\,v)=u\operatorname {grad} v+v\operatorname {grad} u$

$\operatorname {grad} (u^{n})=nu^{n-1}\ \operatorname {grad} u$

Zusammenhang zur Richtungsableitung

→ Hauptartikel: Richtungsableitung

Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes $\varphi \left({\vec {r}}\right),$ in Richtung eines normierten Vektors ${\vec {v}},$ genauer:

$D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}$

Ist $\varphi$ in einer Umgebung von ${\vec {r}}$ differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von ${\vec {v}}$ mit dem Gradienten von $\varphi$ berechnen:

$D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \operatorname {grad} \varphi ,{\vec {v}}\right\rangle$

Integrabilitätsbedingung

Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder $\mathbf {G} (x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {grad} f(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ in Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle und $(i,k=1,\dotsc ,n)$ :

${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial G_{k}}{\partial x_{i}}}\equiv 0$

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ (präziser: der Funktion $\phi =-f$ ). Die $G_{i}$ bzw. $G_{k}$ sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege im $\mathbb {R} ^{n}$ das Linienintegral $\textstyle \oint _{W}\mathbf {G} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$ verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung

${\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial G_{k}}{\partial x_{i}}}\equiv 0$

für ein differenzierbares Vektorfeld $\mathbf {G}$ ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion mit $\mathbf {G} (x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {grad} f(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ (vgl. Totales Differential). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von (z. B. sternförmig) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe Poincaré-Lemma).

Nützliche Formeln

Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor ${\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}$ verwendet.

$\operatorname {grad} r={\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{r}}$

$\operatorname {grad} U(r)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}$

$\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\,\operatorname {grad} r=-{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}$

$\operatorname {grad} {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|}}=-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{2}}}\,\operatorname {grad} |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|=-{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{3}}}$

Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf ${\vec {r}}$ und nicht auf ${\vec {r}}^{\prime }$ wirkt. Er wird deshalb auch als $\nabla _{\vec {r}}$ geschrieben.

Anwendungen

Konservative Kräfte

→ Hauptartikel: Konservative Kraft

In der Physik lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines Potentials darstellen. Beispiele dafür sind:

a) die Gravitationskraft

${\vec {F}}_{\mathrm {Gravitation} }(x,y,z)=-m\operatorname {grad} \Phi (x,y,z)\ ,$

die für eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Masse M

${\vec {F}}_{\mathrm {Gravitation} }(r)=-m\operatorname {grad} \Phi (r)=\operatorname {grad} {\frac {GMm}{r}}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\,{\vec {r}}$

lautet,

b) oder in der Elektrodynamik statische elektrische Felder ${\vec {E}}$

${\vec {E}}(x,y,z)=-\operatorname {grad} \phi (x,y,z)\ .$

In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt, dass für Probemassen bzw. Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit ${\textstyle W=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ entlang eines beliebigen Weges durch das Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig ist.

Transportphänomene

Zahlreiche Transportphänomene lassen sich darauf zurückführen, dass sich die dazugehörigen Ströme als Gradient eines Skalarfeldes ausdrücken lassen, wobei der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor als Transportkoeffizient oder Leitfähigkeit bezeichnet wird.

Ein Beispiel dafür ist der Wärmestrom ${\vec {j}}_{w}$ in der Thermodynamik, für den

${\vec {j}}_{w}=-\lambda \,\operatorname {grad} T$

gilt, wobei $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit ist.

In der Fluiddynamik versteht man unter einer Potentialströmung eine Strömung, bei die Geschwindigkeiten Gradient eines Potentials sind. Da die Divergenz eines Gradienten verschwindet, folgt dann aus der Kontinuitätsgleichung ein Erhaltungssatz.

Bildverarbeitung

Ein Problem in der Bildverarbeitung ist es, in einem Bild zusammenhängende Flächen zu erkennen. Da ein Bild diskrete Werte enthält, benutzt man Filter wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Ein Filter ist dabei eine Matrix, mit der das Bild gefaltet wird (siehe Diskrete Faltung). Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.

Weitere Anwendungen

So wie Gauß-Newton-Verfahren zur Nullstellensuche von Funktionen verwendet wird, wird für mehrdimensionale Optimierungsprobleme in der Numerik das Gradientenverfahren eingesetzt.
Ein Druckgradientenmikrofon nutzt die Druckdifferenzen zwischen räumlichen Punkten aus.

Literatur

Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u.a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Basierend auf einem Artikel in:

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