Alternierende Gruppe

Die alternierende Gruppe vom Grad n besteht aus allen geraden Permutationen einer n-elementigen Menge. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe A_{n} gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden symmetrischen Gruppen S_{n}. Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe A_5 zu. Dass sie der einzige nicht-triviale Normalteiler von S_{5} ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des Satzes von Abel-Ruffini Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke lösbar sind.

Eigenschaften

Die alternierenden Gruppen sind nur für n\geq 2 definiert.

Die alternierende Gruppe A_{n} besteht aus {\tfrac  {n!}{2}} (halbe Fakultät) Elementen. Nur die Gruppen A_{2} und A_{3} sind abelsch. Die alternierende Gruppe A_{n} ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe S_{n}.

Bis auf A_{2} und A_{4} sind alle alternierenden Gruppen einfach. A_5 ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Drehgruppe des Ikosaeders (Ikosaedergruppe).

Erzeugendensystem

Die alternierende Gruppe A_{n} wird von den 3-Zykeln der symmetrischen Gruppe S_{n} erzeugt.

Jeder 3-Zykel (a~b~c) ist eine gerade Permutation, da er sich als Produkt von zwei Transpositionen

(a~b)\circ (b~c)=(a~b~c)

schreiben lässt, und deshalb ein Element der alternierenden Gruppe. Des Weiteren ist jede gerade Permutation ein Produkt von 3-Zykeln, da Paare aus zwei Transpositionen Produkte von 3-Zykeln sind. Im Einzelnen gilt

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen

Von einem Fehlstand oder einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer Permutation in „falscher“ Reihenfolge stehen. Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihre Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt.

Beispiel: Die Permutation in Tupelschreibweise (3,1,2) besitzt die Inversionen „3 vor 1“ und „3 vor 2“ (abzulesen an der Zweizeilenform) und damit die Inversionszahl 2.

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist, von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Oft definiert man auch das Signum \operatorname {sgn}\colon {\text{S}}_{n}\rightarrow \{+1,-1\} wie folgt:

\operatorname {sgn}(p)=+1, falls die Permutation p gerade ist und
\operatorname {sgn}(p)=-1, falls p ungerade ist.

Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus, es gilt also:

\operatorname {sgn}(ps)=\operatorname {sgn}(p)\operatorname {sgn}(s)

für die Permutationenp und s.

Gruppeneigenschaften

Als Kern des Signums ist A_{n} automatisch ein Normalteiler von S_{n}. Man kann auch die Untergruppeneigenschaften leicht nachrechnen:

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:

Mit diesen Voraussetzungen „erbt“ A_{n} direkt von S_{n} alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

Die Gruppe A_5 stellt hierbei eine Besonderheit dar, da sie die kleinste, einfache, nicht-abelsche Gruppe ist.

Abgeschlossenheit

Transpositionen

Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei welcher genau 2 verschiedene Stellen miteinander vertauscht werden, z.B. \left(5~3\right), bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen p_{1} und p_{2}: p_{2} lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus p_{1} erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen p_{2}: p_{2} lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation id erzeugen.

Im Bild ist dargestellt, wie die Permutation in Tupelschreibweise \left(2~5~3~1~4\right) aus \left(1~2~3~4~5\right) mit 5 Transpositionen erzeugt wird.

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild rechts beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sich paarweise aufhebender Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, … erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich, \left(2~5~3~1~4\right) mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus \left(1~2~3~4~5\right) zu erzeugen.

Transpositionen und Inversionszahl

Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus
\left(\ldots ,x,\ldots ,y_{i},\ldots ,z,\ldots \right) die neue Permutation
\left(\ldots ,z,\ldots ,y_{i},\ldots ,x,\ldots \right) erzeugt, setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen

Die weiter oben getroffene Aussage lässt sich verallgemeinern:

Transpositionen und Abgeschlossenheit

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:

Wenn p und q gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen p_{n} und q_{n}, so dass sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

Damit gilt p\circ q=t_{{p_{1}}}\circ \ldots \circ t_{{p_{n}}}\circ t_{{q_{1}}}\circ \ldots \circ t_{{q_{n}}}, somit ist auch die Verkettung p\circ q gerade.

Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation p sei gerade und p^{{-1}} sei ungerade wegen p\circ p^{{-1}}=id zum Widerspruch.

Präsentation der Gruppe An

Eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen sieht so aus: Die Gruppe A_{n} wird für n\ge 3 durch

Erzeugende {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-2}} und
Relationen
{\displaystyle x_{1}^{3}=x_{i}^{2}=e}   für   {\displaystyle 2\leq i\leq n-2}
{\displaystyle (x_{i}x_{i+1})^{3}=e}   für   {\displaystyle 2\leq i\leq n-3}
{\displaystyle (x_{i}x_{j})^{2}=e}   für   {\displaystyle 1\leq i\leq n-4,i+1<j}

definiert. Das heißt, dass jede Gruppe, die n-2 Elemente {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-2}} enthält, die untereinander die oben genannten Gleichungen erfüllen und insgesamt die Gruppe erzeugen, bereits zur alternierenden Gruppe A_{n} isomorph ist.

Das kann man etwa verwenden um zu zeigen, dass {\displaystyle A_{8}} isomorph zur Gruppe {\displaystyle \mathrm {GL} _{4}(2)} der invertierbaren 4\times 4-Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen ist. Dass folgt aus der nachzurechnenden Tatsache, dass

{\displaystyle x_{1}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\quad \quad x_{2}={\begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&1&0\end{pmatrix}}\quad \quad x_{3}={\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&1&0&1\\1&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}


{\displaystyle x_{4}={\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\quad \quad x_{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad \quad x_{6}={\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&1&1&0\end{pmatrix}}}

die Gruppe erzeugen und obige Relationen erfüllen.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 20.01. 2020