Gruppenhomomorphismus

In der Gruppentheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Gruppen, die man Gruppenhomomorphismen nennt. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die mit diesen verträglich ist, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Definition

Gegeben seien zwei Gruppen (G,*) und (H,\star ). Eine Funktion \phi \colon G\to H heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente g_{1},g_{2}\in G gilt:

\phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft und das Ergebnis abbildet oder ob man erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknüpft.

Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element e_{G} von G auf das neutrale Element e_{H} von H abbildet:

\phi (e_{G})=e_{H},

denn für alle g\in G gilt

\phi (g)=\phi (g*e_{G})=\phi (g)\star \phi (e_{G}),

also ist \phi (e_{G}) das neutrale Element in H.

Weiterhin folgt, dass er Inverse auf Inverse abbildet:

\phi (g^{{-1}})=\phi (g)^{{-1}} für alle g\in G,

denn wegen

e_{H}=\phi (e_{G})=\phi (g*g^{{-1}})=\phi (g)\star \phi (g^{{-1}})

ist \phi (g^{{-1}}) das Inverse von \phi (g).

Bild und Kern

Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus f\colon G\to H bezeichnet man die Bildmenge von G unter f:

f(G)=\operatorname {Bild}(f)=\operatorname {im}(f)\colon =\left\{f(u)\mid u\in G\right\}

Der Kern (engl. kernel) von f ist das Urbild des neutralen Elements e_{H}:

f^{{-1}}(e_{H})=\operatorname {Kern}(f)=\operatorname {ker}(f)\colon =\left\{u\in G\mid f(u)=e_{H}\right\}

Genau dann, wenn \operatorname {Kern}(f)=\left\{e_{G}\right\} gilt (der Kern von f also nur das neutrale Element von G enthält, das immer im Kern liegt), ist f injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.

Der Kern von f ist stets ein Normalteiler von G und das Bild von f ist eine Untergruppe von H. Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe G/\operatorname {Kern}(f) isomorph zu \operatorname {Bild} (f).

Beispiele

Triviale Beispiele

Nichttriviale Beispiele

Verkettung von Gruppenhomomorphismen

Sind h\colon G\to H und k\colon H\to K zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition k\circ h\colon G\to K ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Die Klasse aller Gruppen bildet mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie.

Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, Automorphismus

Ein Homomorphismus f\colon G\to H heißt

Ist h\colon G\to H ein Gruppenisomorphismus, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen G und H heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Ist h\colon G\to G ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er Gruppenautomorphismus genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von G bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe G bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe \operatorname {Aut}(G) von G.

Die Automorphismengruppe von (\Z,+) enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe C_{2}.

In der Gruppe von ({\mathbb  {Q}},+) ist jede lineare Abbildung f\left(x\right)=m\cdot x mit m\in {\mathbb  {Q}}\setminus \{0\} ein Automorphismus.

Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen

Sind G und H Gruppen, wobei H abelsch ist, dann bildet die Menge {\displaystyle Hom(G,H)} aller Gruppenhomomorphismen von G nach H selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:

\left(h+k\right)\left(x\right)\colon =h\left(x\right)+k\left(x\right) für alle x\in G.

Die Kommutativität von H benötigt man, damit h+k wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe G bildet mit der Addition eine Gruppe, die als {\displaystyle End(G)} bezeichnet wird.

Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind {\displaystyle f\in Hom(K,G),h,k\in Hom(G,H),g\in Hom(H,L)}, dann gilt

\left(h+k\right)\circ f=\left(h\circ f\right)+\left(k\circ f\right) und g\circ \left(h+k\right)=\left(g\circ h\right)+\left(g\circ k\right).

Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe {\displaystyle End(G)} einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von G.

Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2022