Fakultät (Mathematik)

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
10 3.628.800
20 2,432… · 1018
50 3,041… · 1064
100 9,332… · 10157

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen (ohne Null) kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté „Fähigkeit“ dafür einführte.

Definition

Für alle natürlichen Zahlen n ist

n! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot\ldots\cdot n = \prod_{k=1}^n k

als das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n definiert. Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt

0! = 1

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

n! =\begin{cases} 1, &n=0 \\ n\cdot (n-1)!, &n>0\end{cases}

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert.

Beispiele

Diagramm von 0! bis 4!
{\begin{array}{rll}0!&=1&=1\\1!&=1&=1\\2!&=1\cdot 2&=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5&=120\\&\,\vdots \end{array}}

Die Werte der Fakultäten bilden Folge A000142 in OEIS.

Explizite Fakultätswerte von 0 bis 20
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5.040
8! 40.320
9! 362.880
10! 3.628.800
11! 39.916.800
12! 479.001.600
13! 6.227.020.800
14! 87.178.291.200
15! 1.307.674.368.000
16! 20.922.789.888.000
17! 355.687.428.096.000
18! 6.402.373.705.728.000
19! 121.645.100.408.832.000
20! 2.432.902.008.176.640.000

Anwendungen

Permutationen

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil n! die Anzahl der Möglichkeiten ist, n unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls X eine n-elementige Menge ist, so ist n! auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen X\to X (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall n=0, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern 6! verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher  6 \cdot 5 Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer  6 \cdot 5 \cdot 4 Belegungsmöglichkeiten ergeben, usw. Letztlich gibt es also

6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

{n\choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge auszuwählen. Hier ist das beliebteste Beispiel, das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

{49\choose 6} = \frac{49!}{6!\,(49-6)!} = 13\,983\,816

Möglichkeiten.

Taylorreihen

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Eulersche Zahl

Die eulersche Zahl \mathrm {e} lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} = \frac 1{0!} + \frac 1{1!}+ \frac 1{2!}+ \frac 1{3!}+ \frac 1{4!}+\ldots

Numerische Berechnung

Die Fakultät und die Stirlingformel

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist 69! \approx 1{,}7\cdot 10^{98}, da 70! \approx 1{,}2\cdot 10^{100} außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist 170! \approx 7{,}3\cdot 10^{306}.

Wenn n groß ist, bekommt man eine gute Näherung für n! mit Hilfe der Stirling-Formel:

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^n

Dabei bedeutet \sim , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für n\to \infty gegen 1 konvergiert.

Fakultät-ähnliche Funktionen

Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion

Die Gammafunktion

Die Gammafunktion \Gamma (x) verallgemeinert die Fakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

n! = \Gamma(n+1), \qquad n\in\N
\Gamma(x)=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t} \mathrm dt

Faktorielle

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen (n)_k und (n)^k dar, denn (n)_n = (1)^n = n!.

Primorial (Primfakultät)

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

n_\# =\prod_{p\le n,\; p \text{ prim}} p

Subfakultät

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

!n = n! \cdot \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.

Doppelfakultät

Definition

Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade n das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich n. Für ungerade n ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich n.

Sie ist definiert als:

{\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade\ und} \ n\ >0,\\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade\ und} \ n\ >0,\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \in \{-1,0\}\end{cases}}}

Häufig werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt

(2k)!! = 2^k\cdot k!     und     (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k\cdot k!}

Werden nicht ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, so dass {\displaystyle n!!=n\cdot (n-2)!!} für alle ungeraden ganzen Zahlen n gilt. Man erhält die Formel n!! = \tfrac{1}{n+2} \cdot \tfrac{1}{n+4} \cdot\ldots\cdot \tfrac{1}{1} für ungerade n<0.

Beispiele

Anwendungsbeispiele

Multifakultät

Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (n!!!), vierfache (n!!!!), ..., k-fache Fakultät (n!^{(k)}) rekursiv definiert als

 n!^{(k)} := \begin{cases}
1 & \text{falls } n = 0 \\
n & \text{falls } 0 < n\leq k \\
n(n-k)!^{(k)} & \text{falls } n>k
\end{cases}

Superfakultät

Der Begriff Superfakultät \mathrm{sf}(n) wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet; die eine ist definiert als das Produkt der ersten Fakultäten:

\mathrm{sf}(n)=\prod_{i=1}^n i! = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot\ldots\cdot n! =G(n+2)

mit der Barnes’schen Funktion G(n), die andere als mehrfache Potenz einer Fakultät

n\$ = \begin{matrix} \underbrace{ n!^{{n!}^{{\cdot}^{{\cdot}^{{\cdot}^{n!}}}}}} \\ n! \end{matrix}.

Hyperfakultät

Die Hyperfakultät H_{n} ist für natürliche n folgendermaßen definiert:

H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot \ldots \cdot n^n

Sie kann durch die K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Verwandte Funktionen

Primzahlexponenten

Falls nicht die vollständige Zahl n! gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, so lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

v_p(n!) =\begin{cases}
  0 & \text{falls } n<p \\
  \lfloor n/p\rfloor + v_p(\lfloor n/p\rfloor !) & \text{sonst}
\end{cases}

Hier steht v_p(k) für den Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von k.

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

\begin{align}
v_5(10{.}000!)
&=2{.}000+v_5(2{.}000!)=2{.}000+400+v_5(400!)\\
&=2{.}400+80+v_5(80!)=2{.}480+16+v_5(16!)\\
&=2{.}496+3+v_5(3!)=2{.}499
\end{align}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 16.11. 2021