Radon-Nikodym-Eigenschaft

Die Radon-Nikodym-Eigenschaft, benannt nach Johann Radon und Otton Marcin Nikodým, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen bzw. vektoriellen Maßen. Ein Banachraum X hat die Radon-Nikodym-Eigenschaft, oft mit RNP (nach der englischen Bezeichnung "Radon-Nikodym property") abgekürzt, wenn für vektorielle Maße mit Werten in X eine zum klassischen Satz von Radon-Nikodym analoge Aussage gilt.

Definitionen

Es seien X ein Banachraum, (\Omega ,{\mathcal {A}}) ein messbarer Raum und {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\rightarrow X} ein vektorielles Maß. Man sagt, \mu habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, falls folgendes gilt:

  1. \mu ist von beschränkter Variation.
  2. Ist {\displaystyle \lambda \colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} } ein endliches, positives Maß mit \mu \ll \lambda, so gibt es eine bzgl. \lambda Bochner-integrierbare Funktion {\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow X} mit \mu(A) = \int_Af\mathrm{d}\lambda für alle A\in {\mathcal  {A}}.

Die Schreibweise \mu \ll \lambda bedeutet wie üblich, dass \mu absolut stetig bzgl. \lambda ist, das heißt, dass für alle A\in {\mathcal  {A}} aus \lambda(A)=0 bereits \mu (A)=0 folgt. In obiger Definition erfüllen die beiden Maße also eine vektorwertige Variante des klassischen Satzes von Radon-Nikodym.

Schließlich definiert man, ein Banachraum X habe die Radon-Nikodym-Eigenschaft, wenn jedes vektorielle Maß von beschränkter Variation mit Werten in X die Radon-Nikodym-Eigenschaft hat.

Beispiele

Eigenschaften

Die Krein-Milman-Eigenschaft

Motiviert durch den Satz von Krein-Milman sagt man, ein Banachraum habe die Krein-Milman-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge gleich dem Abschluss der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte ist. Beachte dass hier keine Kompaktheitsforderung gestellt wird. Dies wird nach der englischen Bezeichnung "Krein-Milman property" oft als KMP abgekürzt.

Nach einem Satz von Lindenstrauss hat jeder Raum mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft auch die Krein-Milman-Eigenschaft. Die Umkehrung dieser Aussage ist ein offenes mathematisches Problem, sie ist allerdings für Dualräume bekannt, genauer sind folgende Aussagen über einen Banachraum X äquivalent:

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.03. 2023