Bohrsches Atommodell

Das Bohrsche Atommodell ist das erste weithin anerkannte Atommodell, das Elemente der Quantenmechanik enthält. Es wurde 1913 von Niels Bohr entwickelt. Atome bestehen bei diesem Modell aus einem schweren, positiv geladenen Atomkern und leichten, negativ geladenen Elektronen, die den Atomkern auf geschlossenen Bahnen umkreisen. Durch drei Postulate setzte Bohr innerhalb des Modells die klassische Physik teilweise außer Kraft. Anders als ältere Atommodelle zeigt das Bohrsche Atommodell viele der am Wasserstoffatom beobachteten Eigenschaften. Andererseits werden viele Details spektroskopischer Messungen von ihm nicht erfasst. Chemische Bindungen kann es nicht erklären. Das Konzept von sich auf engen Bahnen um den Kern bewegenden Elektronen steht im Widerspruch zur Unschärferelation.

Das Bohrsche Atommodell ebnete den Weg zum Verständnis des Aufbaus der Atomhülle. Die anschauliche Vorstellung von Elektronen, die den Atomkern umkreisen, wie Planeten die Sonne, hat für Jahrzehnte das populäre Bild von Atomen geprägt. Sie findet sich noch heute auf Logos und Karikaturen. Quantenmechanische Atommodelle ab etwa 1925 sehen für Elektronen keine Bahnen, sondern Aufenthaltswahrscheinlichkeiten vor.

Das Bohrsche Atommodell des Wasserstoffatoms (Z = 1). Beim Übergang des Elektrons von der 3. zur 2. Kreisbahn sendet das Atom ein Photon der Energie $\Delta E = hf$ aus.

Überblick

Bohr nahm als Ausgangspunkt das rutherfordsche Atommodell. Darin umkreisen negativ geladene Elektronen einen positiv geladenen Kern, ähnlich wie Planeten die Sonne im kopernikanischen System. Nach der klassischen Elektrodynamik erzeugt eine kreisende Ladung elektromagnetische Wellen, mit denen Energie abgestrahlt wird. Folglich würde jedes kreisende Elektron Energie verlieren und auf einer Spiralbahn in den Kern stürzen. Stabile Atome könnte es somit nicht geben. Da es aber Atome stabiler Größe gibt, ist das Modell in dieser Form widerlegt.

Um Atome beschreiben zu können, die trotz kreisender Elektronen stabil sind, löste sich Bohr 1913 teilweise von der Gültigkeit der klassischen Mechanik und der Elektrodynamik. Er nahm an, dass es für Elektronen im Atom bestimmte Bahnen gibt, auf denen sie in stabiler Form den Kern umkreisen, ohne elektromagnetische Wellen zu erzeugen, und dass alle anderen Bahnen, die nach der klassischen Mechanik auch möglich sind, in der Natur nicht vorkommen. Strahlung gibt das Atom nur beim Übergang eines Elektrons von einer der erlaubten Bahnen in eine andere ab, wobei - wieder im Widerspruch zur Elektrodynamik - die Frequenz der erzeugten Welle direkt nichts mit den Frequenzen zu tun hat, mit denen das Elektron sich vorher oder hinterher im Kreis bewegt. Über den genaueren Ablauf dieses Quantensprungs können aber keinerlei weitere Aussagen gemacht werden. Bohr brach dabei auch mit dem bis dahin geltenden Lehrsatz natura non facit saltus („die Natur macht keine Sprünge“). Insgesamt ließ er sich bei der Aufstellung dieser Grundsätze stark von seiner Intuition leiten.

Für die Auswahl der stabilen Bahnen legte Bohr drei Postulate fest. Sein Ziel war, das Plancksche Wirkungsquantum als die für die Quantenphysik charakteristische Naturkonstante dergestalt in den Gleichungen zu berücksichtigen, dass die Ergebnisse seines Modells möglichst gut die an Atomen beobachteten Tatsachen wiedergeben. Sein Modell zeigte erfolgreich, dass man durch eine Kombination einiger Ausnahmen von der klassischen Physik und wenigen, einfach erscheinenden neuen Bedingungen viele Eigenschaften der Atome ableiten konnte. Diese Ergebnisse geben die Daten des Wasserstoffatoms (im Rahmen der damals möglichen Genauigkeit) gut wieder: seine Größe, die charakteristischen Wellenlängen des Linienspektrums, seine Ionisationsenergie. Diese Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen legitimierte die z.T. revolutionären Postulate. Das Modell spielte daher eine überragende Rolle in der weiteren Entwicklung der Atomphysik. Wegen seiner Anschaulichkeit, die in den ansonsten wesentlich besseren Modellen nach der Entwicklung der Quantenmechanik ab 1925 nicht aufrechterhalten werden konnte, dient das Bohrsche Atommodell auch heute noch vielfach als Grundlage zur qualitativen Beschreibung atomarer Vorgänge.

Vorläufer- und Nachfolgemodelle

Als ein Vorläufer des bohrschen Modells kann das Atommodell von Arthur Erich Haas (1910) bezeichnet werden. Haas verfolgte den Gedanken, das Plancksche Wirkungsquantum von den Eigenschaften der Elektronen und der Atome her zu verstehen. Dabei ging er von dem damals weithin akzeptierten Thomsonschen Atommodell aus und nahm für das einfachste Atom an, ein Elektron kreise innerhalb einer positiv geladenen Kugel von der Größe des Atoms. Dann setzte er den Energieunterschied zwischen der Ruhelage des Elektrons im Mittelpunkt und seiner größtmöglichen Kreisbahn - willkürlich - mit der Energie des Lichtquants gleich, die nach der Gleichung $E=hf_\infty$ der Grenzfrequenz $f_\infty$ der Spektrallinien der Balmer-Serie entspricht. Daraus erhielt er für den Bahnradius eine Gleichung, die mit dem bekannten Radius des H-Atoms gut übereinstimmt. Umgekehrt gestattet diese Gleichung, aus dem Radius die Grenzfrequenz der Spektrallinien und damit die (Rydberg-Konstante) zu berechnen. Dieselbe Gleichung leitete Bohr in seinem Modell auch 1913 her, aber für die kleinstmögliche Bahn des Elektrons (während zur Balmer-Serie in seinem Modell eine 4fach größere Bahn gehört). Immerhin zeigte das Atommodell von Haas, dass das Plancksche Wirkungsquantum eine Naturkonstante ist, die sich zur Berechnung atomarer Größen eignen kann, wenn man sie - und sei es auf willkürlich erscheinende Weise - in ein physikalisches Atommodell einfügt.

In Bezug auf die Quantelung war 1912 von John William Nicholson vorgeschlagen worden, grundsätzlich die Quantelung des Drehimpulses in Schritten $\hbar = h/2\pi$ gegenüber der Quantelung der Energie in Schritten E=hf vorzuziehen. Zur Begründung diente ihm, dass der Drehimpuls von Kreisbahnen wie im Haas'schen Modell einerseits gerade das Verhältnis von Energie und Kreisfrequenz ist und andererseits ein Vielfaches von $\hbar = h/2\pi$ . Diese Bedeutung der Planckschen Konstante erwies sich in der Tat als grundlegend (s. Plancksches Wirkungsquantum#Drehimpuls). Jedoch wurden mangels weitergehenden Erklärungswerts weder die Vorstellungen von Haas noch die von Nicholson als brauchbare Atommodelle angenommen.

Direkter Nachfolger des bohrschen Modells wurde ab 1916 das bohr-sommerfeldsche Atommodell. Darin wurden nach dem Vorschlag von Arnold Sommerfeld elliptische Bahnen einbezogen, um mehr und genauere Ergebnisse zu gewinnen, nachdem verbesserte experimentelle Methoden zunehmend kleine Abweichungen zu den Vorhersagen des bohrschen Modells erbracht hatten.

Das Modell

Bohrsche Postulate

Nach dem Rutherfordschen Atommodell von 1911 besteht ein Atom aus einem positiv geladenen, sehr kleinen und schweren Atomkern, der von einer Anzahl Elektronen umgeben ist. An diese Vorstellung knüpfte Bohr an. Er untersuchte die periodische Umlaufbewegung eines einzigen Elektrons, wie sie sich aus den Formeln der klassischen Mechanik ergibt, wenn die Kraft zwischen Kern und Elektronen von der elektrostatischen Anziehung herrührt. Um dieses Modell an die beobachteten Eigenschaften des Wasserstoffatoms anzupassen, erweiterte er es um drei Postulate:

Dem Elektron steht von allen klassisch möglichen Bahnen nur eine kleine Auswahl zur Verfügung. Auf diesen Bahnen behält das Elektron seine Energie, denn es erzeugt keine elektromagnetischen Wellen. Dies sind die stationären Zustände des Atoms.
Das Elektron kann von einem stationären Zustand in einen anderen springen. Dieser als Quantensprung bezeichnete Vorgang liegt außerhalb des Gültigkeitsbereichs der klassischen Mechanik und der Elektrodynamik. Beim Quantensprung zwischen stationären Zuständen mit verschiedener Energie wird Licht emittiert oder absorbiert. Dabei wird die Frequenz $\,f$ der Lichtwelle nicht durch die Umlauffrequenz des Elektrons bestimmt, sondern ausschließlich durch die Energiedifferenz $\,\Delta E$ der beiden Zustände nach der von Max Planck entdeckten Formel $f = \Delta E /h.$
Die Frequenz der erzeugten oder absorbierten Lichtwelle nähert sich der Umlauffrequenz des Elektrons an, wenn sich das Elektron im Anfangszustand nur langsam bewegt und in den energetisch nächstgelegenen Zustand springt.

In den ersten beiden Postulaten formuliert Bohr, dass auf der Ebene der Atome die Gesetze der klassischen Mechanik und Elektrodynamik nur eingeschränkt gelten. Anders als in der klassischen Mechanik wird zwischen zwei Zuständen kein kontinuierlicher Übergang, sondern ein Quantensprung angenommen. In der detaillierten Berechnung setzt er das erste Postulat so um, dass er Kreisbahnen annimmt und in direktem Widerspruch zur Theorie der Elektrodynamik annimmt, dass die Elektronen beim Umlauf keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung verlieren. Auch das zweite Postulat steht im Widerspruch zur Elektrodynamik, weil die Frequenz der erzeugten Welle nicht mit der Umlauffrequenz des die Welle erzeugenden Teilchens übereinstimmen muss. Dadurch (und mit Hilfe einer weiteren, aber abwegigen und falschen Zusatzannahme) gelingt es ihm, ganz neue Formeln für den Zusammenhang zwischen der Elektronenbewegung (mit den Parametern Bahnradius, Energie, Umlauffrequenz) und der emittierten Strahlung (Parameter Frequenz) abzuleiten, die nun der Rydberg-Formel ähnlich sehen.

Um aus diesen noch zu allgemeinen Formeln die richtige auszuwählen, benutzt er in seinem dritten Postulat zum ersten Mal das von ihm entdeckte (aber erst später so bezeichnete) Korrespondenzprinzip zwischen klassischer und Quantenphysik:
Trotz der krassen Gegensätze, wie sie in den ersten beiden Postulaten angesetzt werden, muss es einen fließenden Übergang von der vertrauten und bewährten klassischen Physik in die neue Quantenphysik geben. Damit folgt (nach einiger Rechnung) aus dem dritten Postulat, dass die stabilen Elektronenbahnen sich dadurch auszeichnen, dass der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums $\hbar = \tfrac{h}{2\pi}$ ist:

$L = n \hbar \quad (n = 1,2, \ldots).$

Auch dies wird zuweilen als drittes bohrsches Postulat bezeichnet, denn es ermöglicht eine strenge Herleitung der Formeln des Bohrschen Atommodells, ohne dass das Korrespondenzprinzip oder die genannte falsche Zusatzannahme bemüht wird (s.u. Mathematische Formulierung). Bohr selbst bezeichnet später nur noch die ersten beiden Annahmen als seine Postulate.

Bestätigungen

Das Bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen Atomphysik erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.

Größe der Atome

Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen Größenordnung. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von Max von Laue und William H. Bragg erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche Größe war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die Größe aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.

Spektrale Übergänge

In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden Spektrallinien beim Wasserstoff-Atom entdeckt. Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnten Johann Jakob Balmer und Johannes Rydberg anhand von gemessenen Linienspektren bereits 1885 und 1888 numerische Formeln angeben (Balmer-Serie, Rydberg-Formeln). Der physikalische Hintergrund dieser Formeln blieb jedoch fast dreißig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die Balmer- und Rydberg-Formel aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten. Auch waren sie ein intuitiv einleuchtendes Bild der Vorgänge im Atom. Eine Serie entspricht dabei den Übergängen von Elektronen höherer Niveaus auf das gleiche Grundniveau. Für verschiedene höhere Niveaus erhält man eine höhere Energiedifferenz und damit Photonen höherer Energie, also höherer Frequenz.

Zustände diskreter Energie

Die Existenz der angeregten stationären Zustände des Bohrschen Atommodells wurde 1913/1914 mit dem Franck-Hertz-Versuch nachgewiesen. In dem Experiment konnte an Quecksilberatomen im Grundzustand gezeigt werden, dass beim Stoß durch ein freies Elektron ein bestimmter Energiebetrag übertragen werden muss, um den ersten angeregten Zustand zu erreichen. Damit war das erste Postulat des Bohrschen Atommodells auf unabhängige Weise bestätigt.

Schwächen und Widersprüche

Einige Schwächen und Widersprüche des Modells waren bereits bei der Veröffentlichung 1913 klar. Andere wurden später mit verbesserten Experimenten und weiter ausgearbeiteter Theorie der Quantenmechanik offensichtlich.

Die Postulate werden durch kein grundlegendes Prinzip, sondern allein durch ihren Erfolg gerechtfertigt. Sie widersprechen der klassischen Elektrodynamik.
Bohrs Modell beschreibt das Verhalten von Wasserstoffatomen und von Ionen mit nur einem Elektron. Mehrelektronensysteme werden nicht erfasst.
Die Relativitätstheorie bleibt unberücksichtigt, obwohl dem Elektron im Wasserstoff-Grundzustand schon fast 1 % der Lichtgeschwindigkeit zugeschrieben wird.
Das Wasserstoffatom in Bohrs Modell müsste eine flache Scheibe sein.
Chemische Bindungen können mit Bohrs Modell nicht verstanden werden.
In allen stationären Zuständen kommt der Bahn-Drehimpuls des Elektrons um $1\hbar$ zu groß heraus. Insbesondere sollte er im Grundzustand nach Bohr $1\hbar$ sein, tatsächlich ist er aber 0.
Die geradzahlige Aufspaltung vieler Spektrallinien unter dem Einfluss von Magnetfeldern (anomaler Zeeman-Effekt) kann nicht erklärt werden.
Bestimmte Spektrallinien des Wasserstoffs erweisen sich bei genaueren Messungen als Doppellinien. Diese nach ihrem Entdecker Lamb-Shift genannte Trennung kann das Bohr-Modell nicht erklären.
Die in der Radioastronomie wichtige 21-cm-Linie des Wasserstoffs kann nicht aus dem Bohr-Modell abgeleitet werden.
Die Vorstellung einer definierten Bahn des Elektrons um den Atomkern verletzt die 1927 von Werner Heisenberg entdeckte Unschärferelation.

Die Quantenphysik, deren Aussagen bis heute in allen Details mit den experimentellen Befunden übereinstimmen, zeichnet mit dem Orbitalmodell ein grundsätzlich anderes Bild vom Atom. Anders als es das Bohr-Modell annimmt, haben die Elektronen überall im Atom endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit, sogar bis in den Kern hinein. Sie bewegen sich nicht auf Bahnen. Angemessener ist die Vorstellung einer Wolke.

Mathematische Formulierung

So sehr das Bohrsche Atommodell auch an der Wirklichkeit vorbeigeht, ist es doch den vorhergehenden Atommodellen deutlich überlegen. Es erlaubt den Vergleich einer Reihe von numerischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen, allen voran die Position der Linien des Wasserstoffspektrums. Anders als bei moderneren Atommodellen kommt die dafür nötige Mathematik mit dem Einsetzen in Formeln und einfachen Umformungen von Gleichungen aus.

Stationäre Zustände

Das Bohrsche Atommodell betrachtet das Elektron als punktförmiges Teilchen, das durch die entgegengesetzte elektrische Ladung des Kerns angezogen wird. Diese Kraft lenkt die Bahn des Elektrons nach den Gesetzen der klassischen Mechanik in Kreisbahnen. Deshalb nennt man im Bohrschen Atommodell den Abstand eines Elektrons zum Kern auch klassischen Atomradius. Der Drehimpuls eines Teilchens mit Masse und Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit dem Radius ist:

Auf das Teilchen wirkt eine Zentripetalkraft

$F_\mathrm{zentr} = \frac{mv^2}{r}$

die durch die im elektrischen Feld des Protons durch die Coulomb-Kraft

$F_\mathrm{el} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{r^2}$

mit der dielektrischen Konstante $\varepsilon_0$ gegeben ist.

$F_\mathrm{el} = F_\mathrm{zentr} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2} = \frac{m v^2}{r}.$

Daraus ergibt sich zunächst, dass die kinetische Energie genau halb so groß ist wie der Absolutbetrag der (negativen) potentiellen Energie (bei Festlegung des Nullpunkts im Unendlichen):

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{r} = -\frac{1}{2} E_\mathrm{pot},$

Der Drehimpuls muss der postulierten Auswahlbedingung genügen:

$m v r = n \hbar$

mit der Hauptquantenzahl n.

Durch Auflösen nach erhält man

$\Leftrightarrow v = \frac{n \hbar}{mr}$

und durch Einsetzen für die Geschwindigkeit :

$\Rightarrow \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{r^2} = \frac{m\left(\frac{n \hbar}{mr}\right)^2}{r}.$

Atomgröße

Für den Radius der Kreisbahn gilt daher:

$\Leftrightarrow r = n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 }{e^2}\frac{\hbar^2}{m}.$

Der kleinste Radius mit n = 1 wird als bohrscher Atomradius a_0 bezeichnet:

$a_0 = r_{(n = 1)} = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{me^2} \approx 5{,}29 \cdot 10^{-11}\mathrm{m}.$

Position der Linien im Spektrum des Wasserstoffs

Für die potentielle Energie des Elektrons im Coulombfeld des Protons ergibt sich für den -ten Zustand

$E_\mathrm{pot} = -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 }\frac{1}{r} = -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{m}{\hbar^2} \frac{1}{ n^2}\right) = -\left(\frac{ e^2}{4\pi \varepsilon_0 }\right)^2\frac{m}{\hbar^2} \frac{1}{ n^2} = -\frac{2}{n^2}E_\mathrm{R}$

mit der Rydberg-Energie $E_\mathrm{R} = \left(\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{m}{2\hbar^2}$ (s.u.). Für die kinetische Energie gilt (s.o.)

$E_\mathrm{kin} = -\frac{1}{2} E_\mathrm{pot},$

also für die Gesamtenergie

$E_n = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} E_\mathrm{pot} = -\frac{1}{n^2}E_\mathrm{R}.$

Für einen Kern mit Protonen sind die Energien mit Z^2 zu multiplizieren:

$E_n = -\frac{Z^2}{n^2}E_\mathrm{R}.$

Für die Energiedifferenz vom n_1 -ten in den n_2 -ten Zustand erhält man

$\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) E_\mathrm{R},$

wobei diese Energiedifferenz positiv ist, das heißt die Gesamtenergie des Systems durch Energiezufuhr von außen erhöht wird, wenn n_2 > n_1 , und ansonsten Energie emittiert wird. Die Konstante

$E_\mathrm{R} = \left(\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\right)^2 \frac{m}{2\hbar^2} \approx 13{,}6\,\mathrm{eV}$

wird auch als Rydberg-Energie bezeichnet und in der Atomphysik vielfach als Maßeinheit der Energie verwendet.

Für die Erklärung der Spektren ist man an der Frequenz des emittierten Lichts interessiert, für die nach dem 2. bohrschen Postulat

gilt. Die Frequenz der emittierten Strahlung beim Sprung vom n_1 -ten in den n_2 -ten Zustand ( n_1 > n_2 ) beträgt also

$f = \frac{E_\mathrm{R}}{h} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right) .$

Drückt man in dieser Formel jede Frequenz gemäß $f = c/\lambda$ durch die Wellenlänge $\lambda$ des entsprechenden Photons aus, entsteht die Rydberg-Formel, die Johannes Rydberg bereits 1888 ohne Kenntnis eines Atommodells aus den beobachteten Linienspektren abgelesen hatte. Sie stimmt in den ersten vier dezimalen Stellen mit den beobachteten Werten überein.

Exaktere Werte erhält man, wenn man bedenkt, dass der Kern sich beim Kreisen des Elektrons minimal mitbewegt – beide bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt, der sehr dicht beim 1836-mal schwereren Proton liegt – die Mechanik liefert einen Faktor $1/(1 + \tfrac{m_{\text{Elektron}}}{m_{\text{Kern}}}) \approx \tfrac{1}{1{,}00055}$ .

Lässt man n_2 gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die beim Einfang eines Elektrons aus dem Unendlichen bis zum Zustand n_1 frei wird, also das negative der Gesamtenergie des Endzustands n_1 oder dessen Ionisationsenergie.

Ausblick

Das Bohrsche Atommodell fand im bohr-sommerfeldschen Atommodell verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um Intensitäten und Feinstruktur-Aufspaltungen der Spektrallinien zu erklären. Der Stern-Gerlach-Versuch erweiterte das Modell abermals um den Spin.

Mit der Quantenmechanik wurden beide Modelle abgelöst, zugleich aber auch die bohrschen Postulate vollständig begründet. Es wurde erkennbar, warum das bohrsche Modell und seine Erweiterung in vielen Bereichen Erfolge hatten, das heißt richtige Voraussagen trafen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de