Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schließt die Spitze den Winkel $36^{{\circ }}$ oder $108^{{\circ }}$ ein, wird es Goldenes Dreieck erster bzw. zweiter Art genannt.

Berechnung und Konstruktion

Mathematische Formeln zum gleichschenkligen Dreieck
Flächeninhalt	$A={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}$
Flächeninhalt	$A={\frac {a^{2}\cdot \sin(\gamma )}{2}}$
Umfang	$U=2\cdot a+c$
Seitenlängen
Seitenlängen	$c=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\sqrt {2\cdot a^{2}\cdot (1-\cos(\gamma ))}}$
Winkel	$\alpha =\beta =\arcsin \left({\frac {h_{c}}{a}}\right)$
Winkel	$\gamma =180^{\circ }-2\cdot \alpha =2\cdot \arcsin \left({\frac {c}{2\cdot a}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2\cdot a^{2}}}\right)$
Höhe	$h_{a}={\frac {c}{2\cdot a}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}$
	$h_{b}={\frac {c}{2\cdot b}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}$
	$h_{c}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}$
Inkreisradius	$r_{i}={\frac {c\cdot h_{c}}{2\cdot a+c}}={\frac {c\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}{4\cdot a+2\cdot c}}$
Umkreisradius	$r_{u}={\frac {a}{2\cdot \sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\cdot \sin(\beta )}}={\frac {c}{2\cdot \sin(\gamma )}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}$

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Zwei Seiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

$\textstyle 2\alpha+\gamma=180^\circ$

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Ausgezeichnete Punkte

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Gleichschenkliges Dreieck mit

Symmetrieachse
Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Sehnenvielecke

Ein Sehnenvieleck wird von den Radien seines Umkreises in gleichschenklige Dreiecke zerlegt.

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und Brahmaguptas Formel für Sehnenvierecke.

Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimme Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Quadratische Pyramide
Regelmäßige fünfseitige Pyramide
Dreiseitige regelmäßige Doppelpyramide
Quadratische Doppelpyramide
Triakistetraeder
Triakisoktaeder
Tetrakishexaeder
Pentakisdodekaeder
Triakisikosaeder

Siehe auch

Literatur

H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u.a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de