Hermitesches Polynom

Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome Hn

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}\,,

bzw. H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}\,.

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen n) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

H_{n}''(x)-2\,x\cdot H_{n}'(x)+2\,n\cdot H_{n}(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots ).

Explizite Darstellung

Aus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung

H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}

also

H_{0}(x)=1
H_{1}(x)=2x
H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2
H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x
H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen (n\in \mathbb {N} _{0},H_{-1}(x):=0):

{\displaystyle H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)}
{\displaystyle H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)}

Da bei jedem Iterationsschritt ein x hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass H_{n}(x) ein Polynom von Grade n ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz x^{n} ist 2^{n}. Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o.g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution n'=n+1 auch wie folgt schreiben:

H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2\ldots )

Pascal-Quelltext

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen H_{{0}}(x)=1 und H_{{1}}(x)=2x lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

 Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
   Function Go(m:Byte; p,q:Extended): Extended;
   Begin
     If n=m Then Go := p
            Else Go := Go(m+1, q, 2*x*q - 2*(m+1)*p)
   End;
 Begin
   Hermite := Go(0, 1, 2*x)
 End;

Die allgemeinere Ableitungsformel H_{{n}}^{{(m)}}(x)=2nH_{{n-1}}^{{(m-1)}}(x) lässt sich wie folgt umsetzen:

 Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
 Begin
  If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
         Else
   If n<m Then HermiteAbleitung:=0
          Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                      Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
 End;

Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion e^{-x^{2}} die Orthogonalitätsrelation

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.

Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome Hen (Statistiker-Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist

He_{n}(x)=2^{-n/2}H_{n}(x/{\sqrt {2}})=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion e^{-x^{2}/2} orthogonal

\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,He_{n}(x)\,He_{m}(x)\,dx={\sqrt {2\,\pi }}\,n!\,\delta _{mn}

und erfüllen die Differentialgleichung

{\displaystyle y''-x\,y'+n\,y=0.}

Sie lassen sich rekursiv durch

He_{n+1}(x)=x\,He_{n}(x)-n\,He_{n-1}(x)

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für a^{2}+b^{2}=1 ist

H_{n}(ax+by)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}H_{k}(x)H_{n-k}(y).

Index mit negativem Wert

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion {\displaystyle 1-\operatorname {erf} (x)=\operatorname {erfc} (x)} ist

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}.

Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:

{\displaystyle H_{n}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(-1)^{(n+1)}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}\operatorname {erfc} (x)},

sodass man für {\displaystyle n=-1} findet:

{\displaystyle H_{-1}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}.

Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:

{\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{-n}}{\mathrm {d} x^{-n}}}H_{-1}(x)} oder rekursiv {\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {1}{2n}}H_{n}'(x)} mit {\displaystyle n=(-1,-2,-3,\dotsc )}.

Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

{\displaystyle H_{-1}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}
{\displaystyle H_{-2}(x)={\tfrac {1}{2}}(1-x{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}
{\displaystyle H_{-3}(x)={\tfrac {1}{8}}(-2x+(1+2x^{2}){\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}
\ldots

Anwendungen

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.08. 2022