Orthogonale Polynome

Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

$P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),\dots$

in einer Unbekannten , so dass P_n(x) den Grad hat, die orthogonal bezüglich eines $L^{2}$ Skalarproduktes sind.

Definition

Sei $\mu$ ein Borel-Maß auf $\mathbb {R}$ und betrachte man den Hilbertraum $L^{2}({\mathbb {R}},d\mu )$ der bezüglich $\mu$ quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

$\langle f,g\rangle =\int _{{{\mathbb {R}}}}\overline {f(x)}g(x)d\mu (x).$

Weiter sei $\textstyle \int _{{{\mathbb {R}}}}|x|^{n}d\mu (x)<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\mu ({\mathbb {R}})=1$ fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion w(x) gegeben: $d\mu (x)=w(x)dx$ .

Eine Folge von Polynomen $P_{n}$ , $n\in \mathbb {N} _{0}$ , heißt Folge orthogonaler Polynome, falls P_n(x) Grad hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

$\langle P_{m},P_{n}\rangle =0,\qquad m\neq n.$

Konstruktion

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren aus den Monomen $x^{n}$ , $n\in \mathbb {N} _{0}$ , konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

$m_{n}=\int _{{{\mathbb {R}}}}x^{n}d\mu (x)$

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:

$h_{n}=\langle P_{n},P_{n}\rangle =\int _{{{\mathbb {R}}}}P_{n}(x)^{2}d\mu (x),\qquad {\tilde {h}}_{n}=\langle P_{n}(x),x\,P_{n}(x)\rangle =\int _{{{\mathbb {R}}}}x\,P_{n}(x)^{2}d\mu (x)$

und

$P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+{\tilde {k}}_{n}x^{{n-1}}+{\tilde {{\tilde {k}}}}_{n}x^{{n-2}}+\cdots .$

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal, falls $h_{n}=1$ , und als monisch, falls $k_{n}=1$ .

Rekursionsrelation

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

$P_{{n+1}}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n}(x)-C_{n}P_{{n-1}}(x)$

(wobei $P_{{-1}}(x)=0$ im Fall n=0 zu setzen ist) mit

$A_{n}={\frac {k_{{n+1}}}{k_{{n}}}},\quad B_{n}=\left({\frac {{\tilde {k}}_{{n+1}}}{k_{{n+1}}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}\right)A_{n}=-{\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}}A_{n},\quad C_{n}={\frac {A_{n}{\tilde {{\tilde {k}}}}_{n}+B_{n}{\tilde {k}}_{n}-{\tilde {{\tilde {k}}}}_{{n+1}}}{k_{{n-1}}}}={\frac {A_{n}}{A_{{n-1}}}}{\frac {h_{n}}{h_{{n-1}}}},$

und den Konstanten $h_{n},k_{n},{\tilde {k}}_{n},{\tilde {{\tilde {k}}}}_{n}$ aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

$a_{n}P_{{n+1}}(x)+b_{n}P_{n}(x)+c_{n}P_{{n-1}}(x)=x\,P_{n}(x)$

mit

$a_{n}={\frac {k_{n}}{k_{{n+1}}}},\quad b_{n}={\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{{n+1}}}{k_{{n+1}}}}={\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}},\quad c_{n}={\frac {{\tilde {{\tilde {k}}}}_{n}-a_{n}{\tilde {{\tilde {k}}}}_{{n+1}}-b_{n}{\tilde {k}}_{n}}{k_{{n-1}}}}=a_{{n-1}}{\frac {h_{n}}{h_{{n-1}}}},$

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Poynomen, $h_{n}=1$ , erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation $c_{n}=a_{{n-1}}$ und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß $d\mu$ ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor $\delta _{{1,n}}$ .

Christoffel–Darboux-Formel

Es gilt

$\sum _{{m=0}}^{n}{\frac {P_{m}(x)P_{m}(y)}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{{n+1}}}}{\frac {P_{{n+1}}(x)P_{n}(y)-P_{n}(x)P_{{n+1}}(y)}{x-y}}$

und im Fall x=y erhält man durch Grenzwertbildung

$\sum _{{m=0}}^{n}{\frac {P_{m}(x)^{2}}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{{n+1}}}}{\left(P_{{n+1}}'(x)P_{n}(x)-P_{n}'(x)P_{{n+1}}(x)\right)}.$

Nullstellen

Das Polynom $P_{n}$ hat genau Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von $P_{n}$ liegen strikt zwischen den Nullstellen von $P_{{n+1}}$ .

Liste von Folgen orthogonaler Polynome

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de