Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion $F\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ und der Messraum $({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ , wobei $\mathcal{B}$ die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß $\lambda _{F}$ auf diesem Messraum mit

$\lambda _{F}((a,b]):=F(b)-F(a)\quad {\text{für}}\quad a<b$

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele

Das bekannteste Beispiel eines Lebesgue-Stieltjes-Maßes ist das Lebesgue-Maß $\lambda ((a,b])=b-a$ , aus dem das Lebesgue-Integral konstruiert wird. Hier ist .
Für $a\in \mathbb {R}$ und $F\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit für und für $x\geq a$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß $\lambda _{F}$ das Diracmaß $\delta_a$ .
Ist $f\colon \mathbb{R} \to [0,\infty )$ eine nichtnegative, stetige Funktion mit Stammfunktion , so ist $\lambda _{F}$ das Maß mit Dichte .
Ist zusätzlich $\lim _{{x\to -\infty }}F(x)=0$ und $\lim _{{x\to \infty }}F(x)=1$ , so ist $\lambda _{F}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ist die Verteilungsfunktion.
Sind die beiden obigen Fälle erfüllt, so handelt es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte. Diese Maße spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik.

Konstruktion

Gegeben sei der Halbring ${\mathcal {J}}:=\{(a,b]:a,b\in {\mathbb {R}},a<b\}$ und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion . Dann ist

$\mu _{F}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathbb {R}},\mu _{F}((a,b]):=F(b)-F(a),(a<b)$

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß $\nu _{F}$ , das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von ${\mathcal {J}}$ erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}({\mathbb {R}})=\sigma ({\mathcal {J}})$ und es ist $\lambda _{F}=\nu _{F}|\sigma ({\mathcal {J}})$ .

Vervollständigung

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes ${\mathcal {A}}_{{\nu _{F}}}$ die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum $({\mathbb {R}},{\mathcal {A}}_{{\nu _{F}}},\nu _{F}|_{{{\mathcal {A}}_{{\nu _{F}}}}})$ die Vervollständigung von $({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}),\lambda _{F})$ .

Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.

Basierend auf einem Artikel in:

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