Einheitskugel

Einheitskugel (rot) und -sphäre (blau) für die euklidische Norm in zwei Dimensionen

Unter der Einheitskugel versteht man in der Mathematik die Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines Vektorraums. Dabei wird ein verallgemeinerter Begriff des Abstands zugrunde gelegt, so dass je nach Zusammenhang die Einheitskugel keine Ähnlichkeit mehr mit einer herkömmlichen Kugel haben muss. Diese Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel, im zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der euklidischen Norm ist dies der Einheitskreis.

Allgemeine Definition

Es sei (X,\|{\cdot }\|) ein normierter Vektorraum. Dann nennt man die Menge der Punkte, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als eins ist, die offene Einheitskugel in X:

B_{X}:=\{x\in X:\|x\|<1\}.

Entsprechend bezeichnet

\overline {B_{X}}:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}

die abgeschlossene Einheitskugel in X sowie

\partial B_{X}:=\{x\in X:\|x\|=1\}

die Einheitssphäre in X.

Mittels Translation und Skalierung lassen sich in einem Raum beliebige Kugeln in die Einheitskugel überführen. Deshalb reicht es oft aus, bestimmte Aussagen nur für die Einheitskugel nachzuweisen, um die Gültigkeit für beliebige Kugeln zu folgern.

Einheitskugel in endlichdimensionalen Räumen

Einheitssphären im \mathbb {R} ^{2}

Im Falle des euklidischen Raumes \mathbb {R} ^{n} definiert man die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der euklidischen Norm \|x\|_{2}={\sqrt  {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}} mittels \overline {B_{{\mathbb{R} ^{n}}}}:=\{x\in \mathbb{R} ^{n}:\|x\|_{2}\leq 1\}.

Einheitskugeln können alternativ im \mathbb {R} ^{n} bezüglich anderer Normen definiert werden, beispielsweise der Summennorm (1-Norm) \|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}| oder der Maximumsnorm \|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}. Die geometrische Gestalt der Einheitskugel hängt von der gewählten Norm ab und ist nur mit der euklidischen Norm tatsächlich kugelförmig.

Volumen

Das Volumen einer n-dimensionalen, euklidischen Einheitskugel ist

V_{n}={\frac  {2\pi ^{{n/2}}}{n\Gamma ({\frac  {n}{2}})}}={\frac  {\pi ^{{n/2}}}{\Gamma ({\frac  {n}{2}}+1)}}.

Hierbei ist \Gamma die Gammafunktion, eine analytische Fortsetzung der (verschobenen) Fakultät auf die reellen Zahlen. Für gerades n vereinfacht sich die Formel zu V_{n}={\tfrac  {\pi ^{{n/2}}}{(n/2)!}}.

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel in Abhängigkeit von der Raumdimension n bis n=5 zunächst zunimmt, um dann wieder abzufallen – und sogar für n\to \infty gegen 0 zu gehen:

Dimension Volumen der Einheitskugel Näherung
1 2 2,00
2 \pi 3,14
3 {\frac  {4}{3}}\pi 4,19
4 {\frac  {1}{2}}\pi ^{2} 4,93
5 {\frac  {8}{15}}\pi ^{2} 5,26
6 {\frac  {1}{6}}\pi ^{3} 5,17
7 {\frac  {16}{105}}\pi ^{3} 4,72
12 {\frac  {1}{720}}\pi ^{6} 1,34
20 {\frac  {1}{3\,628\,800}}\pi ^{{10}} 0,0258
25 {\frac  {8\,192}{7\,905\,853\,580\,625}}\pi ^{{12}} 0,00096

Die Einheitskugel bezüglich der Summennorm ist geometrisch ein Kreuzpolytop, ihr Volumen beträgt {\tfrac  {2^{n}}{n!}}.

Die Einheitskugel bezüglich der Maximumsnorm ist ein Hyperwürfel mit Kantenlänge 2, hat also das Volumen 2^{n}.

Bemerkungen

Eigenschaften

Anwendungen in den Naturwissenschaften

In vielfältiger Art wird die Einheitskugel in den Geowissenschaften angewandt, insbesondere für Berechnungen auf der Erdkugel. Sie erfolgen mit sogenannten Kugeldreiecken und den Formeln der Sphärischen Trigonometrie, wenn eine Genauigkeit von etwa 0,1 % genügt, zum Beispiel bei der Geografie und Kartografie, Globenberechnungen und Navigation. Die wahren Distanzen erhält man aus den Kugelbögen durch Multiplikation mit dem Erdradius.

Für höhere Genauigkeit – vor allem in der Geodäsie – ist statt der Erdkugel das Erdellipsoid zu verwenden. Mit der Methode der Verebnung sind aber Dreiecksberechnungen auch sphärisch möglich.

Geologen verwenden für Richtungsanalysen von Gesteinsschichten oder Klüften eine Einheitskugel, die sie Lagenkugel nennen. In sie werden die Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen eingetragen und danach in flächentreuer Azimutalprojektion dargestellt.

Auch astronomische Berechnungen werden seit jeher auf der Einheitskugel um den Beobachter durchgeführt. Sie entspricht dem freiäugigen Anblick des Himmelsgewölbes und wird Himmelskugel genannt, auf der die sphärische Astronomie eigene Koordinatensysteme für Winkelmessungen und Sternörter definiert hat. Ob der Kugelradius mit 1 oder mit ∞ angenommen wird, ist dabei ohne Belang.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 31.07. 2021