Universelle Eigenschaft

Eine universelle Eigenschaft ist eine Methode der Mathematik, und dort insbesondere der abstrakten Algebra, sich eine gewünschte Struktur ohne Angabe einer konkreten Konstruktion zu verschaffen. Dabei wird für Objekte einer bestimmten Kategorie {\mathbf  C}, z.B. die Kategorie der abstrakten Algebren, eine Eigenschaft festgelegt, z.B. dass es von einem Vektorraum V eine injektive Abbildung in die Algebra gebe.

Die Universalkonstruktion besteht nun darin, die Existenz eines "kleinsten" Elements U der Kategorie zu behaupten, das die Eigenschaft erfüllt. Im Beispiel wäre das die Tensoralgebra {\displaystyle TV} von V. "Kleinstes" zu sein bedeutet, dass es zu jedem Objekt W der Kategorie {\mathbf  C}, das die geforderte Eigenschaft erfüllt, einen eindeutig bestimmten Morphismus {\displaystyle f\colon U\to W} gibt, der mit der Eigenschaft verträglich ist, im Beispiel mit der Einbettung von V vertauscht.

Das "kleinste" Element muss nicht eindeutig bestimmt sein, jedoch sind alle "kleinsten" Elemente, sofern existent, isomorph. Als Existenzbeweis wird meistens eine konkrete Konstruktion angegeben, jedoch sind meistens die Details der Konstruktion für die Theorie der Struktur unwesentlich.

Beispiele

Motivation

Wofür sind universelle Eigenschaften gut? Hat man einmal erkannt, dass eine gewisse Konstruktion eine universelle Eigenschaft erfüllt, so gewinnt man hieraus

Formale Definition

Sei U\colon {\mathbf  D}\to {\mathbf  C} ein Funktor von der Kategorie {\mathbf  D} in die Kategorie {\mathbf  C} und sei X ein Objekt von {\mathbf  C}. Ein universeller Morphismus von X nach U besteht aus einem Paar (A,\phi ), wobei A ein {\mathbf  D}-Objekt und \phi \colon X\to U(A) ein Morphismus in {\mathbf  C} ist, so dass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

UniversalProperty-03.png

Intuitiv bedeutet die Existenz von g, dass A „allgemein genug“ ist, während die Eindeutigkeit sicherstellt, dass A nicht „zu allgemein“ ist. Man kann in dieser Definition auch sämtliche Pfeile umkehren, d.h. das kategorientheoretische Dual betrachten. Ein universeller Morphismus von U nach X ist ein Paar (A,\phi ), wobei A ein {\mathbf  D}-Objekt und \phi \colon U(A)\to X ein Morphismus in {\mathbf  C} ist, so dass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

UniversalProperty-04.png

Eigenschaften

Existenz und Eindeutigkeit

Die bloße Definition garantiert noch keine Existenz. Zu einem Funktor U und einem Objekt X wie oben kann ein universeller Morphismus von X nach U existieren oder auch nicht. Falls jedoch ein universeller Morphismus (A,\phi ) existiert, so ist er bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig. Ist also (A',\phi ') ein weiteres solches Paar, so gibt es einen eindeutigen Isomorphismus g\colon A\to A' mit \phi '=U(g)\circ \phi . Dies erkennt man leicht, indem man die Definition der universellen Eigenschaft auf (Y,f)=(A',\phi ') anwendet.

Äquivalente Formulierungen

Die Definition eines universellen Morphismus kann auf verschiedene Weise formulieren. Mit einem Funktor U\colon {\mathbf  D}\to {\mathbf  C} und einem {\mathbf  C}-Objekt X sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Entsprechend sind die dualen Aussagen äquivalent:

Beziehung zu adjungierten Funktoren

Sei (A_{1},\phi _{1}) ein universeller Morphismus von X_{1} nach U und (A_{2},\phi _{2}) einer von X_{2} nach U. Aufgrund der universellen Eigenschaft existiert zu jedem Morphismus h\colon X_{1}\to X_{2} genau ein Morphismus g\colon U(X_{1})\to U(X_{2}) mit U(g)\circ \phi _{1}=\phi _{2}\circ h.

Gibt es sogar zu jedem Objekt X_{i} der Kategorie {\mathbf  C} einen universellen Morphismus nach U, so definiert die Zuordnung X_{i}\mapsto A_{i}, h\mapsto g einen Funktor V\colon C\to D. Die Morphismen \phi _{i} bilden eine natürliche Transformation von 1_{{{\mathbf  C}}} (dem Identitätsfunktor auf {\mathbf  C}) nach U\circ V. Dann ist (V,U) ein Paar adjungierter Funktoren, und zwar ist V links-adjungiert zu U und U rechts-adjungiert zu V.

Entsprechendes gilt mutatis mutandis im dualen Fall.

Geschichte

Universelle Eigenschaften wurden im Zusammenhang mit verschiedenen topologischen Konstruktionen 1948 von Pierre Samuel eingeführt. Später nutzte Nicolas Bourbaki sie in großem Umfang. Das eng verbundene Konzept der Adjungiertheit von Funktoren hat Daniel Kan unabhängig hiervon 1958 eingeführt.

Siehe auch

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.07. 2019